Selesaikan 3x-5y=4;9x-2y=7

$$3 x - 5 y = 4 ; 9 x - 2 y = 7$$

Cari nilai x, y

$$x=\frac{9}{13}\approx 0,692307692$$

$$y=-\frac{5}{13}\approx -0,384615385$$

Langkah-Langkah yang Menggunakan Substitusi

Untuk menyelesaikan sepasang persamaan dengan substitusi, terlebih dahulu selesaikan satu persamaan untuk satu variabel. Lalu ganti hasil untuk variabel tersebut di persamaan yang lain.

$$3x-5y=4,9x-2y=7$$

Pilih salah satu persamaan dan temukan nilai x dengan memisahkan x di sisi kiri tanda sama dengan.

$$3x-5y=4$$

Tambahkan 5y ke kedua sisi persamaan.

$$3x=5y+4$$

Bagi kedua sisi dengan 3.

$$x=\frac{1}{3}\left(5y+4\right)$$

Kalikan \frac{1}{3} kali 5y+4.

$$x=\frac{5}{3}y+\frac{4}{3}$$

Ganti \frac{5y+4}{3} untuk x di persamaan lain, 9x-2y=7.

$$9\left(\frac{5}{3}y+\frac{4}{3}\right)-2y=7$$

Kalikan 9 kali \frac{5y+4}{3}.

$$15y+12-2y=7$$

Tambahkan 15y sampai -2y.

$$13y+12=7$$

Kurangi 12 dari kedua sisi persamaan.

$$13y=-5$$

Bagi kedua sisi dengan 13.

$$y=-\frac{5}{13}$$

Ganti -\frac{5}{13} untuk y dalam x=\frac{5}{3}y+\frac{4}{3}. Karena hasil persamaan hanya berisi satu variabel, Anda dapat menyelesaikan x secara langsung.

$$x=\frac{5}{3}\left(-\frac{5}{13}\right)+\frac{4}{3}$$

Kalikan \frac{5}{3} kali -\frac{5}{13} dengan mengalikan bilangan pembilang dikalikan pembilang dan penyebut dikalikan penyebut. Lalu kurangi pecahan ke suku terkecil jika memungkinkan.

$$x=-\frac{25}{39}+\frac{4}{3}$$

Tambahkan \frac{4}{3} ke -\frac{25}{39} dengan mencari faktor persekutuan dan menambahkan pembilang. Lalu kurangi pecahan ke suku terkecil jika memungkinkan.

$$x=\frac{9}{13}$$

Sistem kini terselesaikan.

$$x=\frac{9}{13},y=-\frac{5}{13}$$

Langkah Menggunakan Matriks

Masukkan persamaan dalam bentuk standar lalu gunakan matriks untuk menyelesaikan sistem persamaannya.

$$3x-5y=4,9x-2y=7$$

Tulis persamaan dalam bentuk matriks.

$$\left(\begin{matrix}3&-5\\9&-2\end{matrix}\right)\left(\begin{matrix}x\\y\end{matrix}\right)=\left(\begin{matrix}4\\7\end{matrix}\right)$$

Kalikan persamaan sisi kiri dengan matriks terbalik \left(\begin{matrix}3&-5\\9&-2\end{matrix}\right).

$$inverse(\left(\begin{matrix}3&-5\\9&-2\end{matrix}\right))\left(\begin{matrix}3&-5\\9&-2\end{matrix}\right)\left(\begin{matrix}x\\y\end{matrix}\right)=inverse(\left(\begin{matrix}3&-5\\9&-2\end{matrix}\right))\left(\begin{matrix}4\\7\end{matrix}\right)$$

Hasil kali matriks dan invers-nya adalah matriks identitas.

$$\left(\begin{matrix}1&0\\0&1\end{matrix}\right)\left(\begin{matrix}x\\y\end{matrix}\right)=inverse(\left(\begin{matrix}3&-5\\9&-2\end{matrix}\right))\left(\begin{matrix}4\\7\end{matrix}\right)$$

Kalikan matriks pada sisi kiri tanda sama dengan.

$$\left(\begin{matrix}x\\y\end{matrix}\right)=inverse(\left(\begin{matrix}3&-5\\9&-2\end{matrix}\right))\left(\begin{matrix}4\\7\end{matrix}\right)$$

Untuk matriks 2\times 2 \left(\begin{matrix}a&b\\c&d\end{matrix}\right), matriks kebalikannya adalah \left(\begin{matrix}\frac{d}{ad-bc}&\frac{-b}{ad-bc}\\\frac{-c}{ad-bc}&\frac{a}{ad-bc}\end{matrix}\right), maka persamaan matriks dapat ditulis ulang sebagai persoalan perkalian matriks.

$$\left(\begin{matrix}x\\y\end{matrix}\right)=\left(\begin{matrix}-\frac{2}{3\left(-2\right)-\left(-5\times 9\right)}&-\frac{-5}{3\left(-2\right)-\left(-5\times 9\right)}\\-\frac{9}{3\left(-2\right)-\left(-5\times 9\right)}&\frac{3}{3\left(-2\right)-\left(-5\times 9\right)}\end{matrix}\right)\left(\begin{matrix}4\\7\end{matrix}\right)$$

Lakukan penghitungannya.

$$\left(\begin{matrix}x\\y\end{matrix}\right)=\left(\begin{matrix}-\frac{2}{39}&\frac{5}{39}\\-\frac{3}{13}&\frac{1}{13}\end{matrix}\right)\left(\begin{matrix}4\\7\end{matrix}\right)$$

Kalikan matriks.

$$\left(\begin{matrix}x\\y\end{matrix}\right)=\left(\begin{matrix}-\frac{2}{39}\times 4+\frac{5}{39}\times 7\\-\frac{3}{13}\times 4+\frac{1}{13}\times 7\end{matrix}\right)$$

Lakukan penghitungannya.

$$\left(\begin{matrix}x\\y\end{matrix}\right)=\left(\begin{matrix}\frac{9}{13}\\-\frac{5}{13}\end{matrix}\right)$$

Ekstrak elemen matriks x dan y.

$$x=\frac{9}{13},y=-\frac{5}{13}$$

Langkah Menggunakan Eliminasi

Agar dapat menyelesaikan dengan eliminasi, koefisien dari satu variabel harus sama dengan kedua persamaan sehingga variabel dapat disederhanakan saat satu persamaan dikurangi dengan persamaan lainnya.

$$3x-5y=4,9x-2y=7$$

Untuk menjadikan 3x dan 9x yang sama, kalikan semua suku pada tiap sisi dari persamaan pertama dengan 9 dan semua suku pada tiap sisi yang kedua dengan 3.

$$9\times 3x+9\left(-5\right)y=9\times 4,3\times 9x+3\left(-2\right)y=3\times 7$$

Sederhanakan.

$$27x-45y=36,27x-6y=21$$

Kurangi 27x-6y=21 dari 27x-45y=36 dengan mengurangi suku sejenis pada tiap sisi dari tanda sama dengan.

$$27x-27x-45y+6y=36-21$$

Tambahkan 27x sampai -27x. Istilah 27x dan -27x dibatalkan, meninggalkan persamaan dengan hanya satu variabel yang dapat diselesaikan.

$$-45y+6y=36-21$$

Tambahkan -45y sampai 6y.

$$-39y=36-21$$

Tambahkan 36 sampai -21.

$$-39y=15$$

Bagi kedua sisi dengan -39.

$$y=-\frac{5}{13}$$

Ganti -\frac{5}{13} untuk y dalam 9x-2y=7. Karena hasil persamaan hanya berisi satu variabel, Anda dapat menyelesaikan x secara langsung.

$$9x-2\left(-\frac{5}{13}\right)=7$$

Kalikan -2 kali -\frac{5}{13}.

$$9x+\frac{10}{13}=7$$

Kurangi \frac{10}{13} dari kedua sisi persamaan.

$$9x=\frac{81}{13}$$

Bagi kedua sisi dengan 9.

$$x=\frac{9}{13}$$

Sistem kini terselesaikan.

$$x=\frac{9}{13},y=-\frac{5}{13}$$