Selesaikan 3x+9=6ytext{and}-2x-2y-12=0

$$3 x + 9 = 6 y \text { and } - 2 x - 2 y - 12 = 0$$

Cari nilai x, y

$$x=-5$$

$$y=-1$$

Langkah-Langkah yang Menggunakan Substitusi

Sederhanakan persamaan pertama. Kurangi 6y dari kedua sisi.

$$3x+9-6y=0$$

Kurangi 9 dari kedua sisi. Jika nol dikurangi bilangan tertentu, akan menghasilkan bilangan negatif dari bilangan tersebut.

$$3x-6y=-9$$

Sederhanakan persamaan kedua. Tambahkan 12 ke kedua sisi. Bilangan apa pun yang ditambahkan nol, menghasilkan bilangan itu sendiri.

$$-2x-2y=12$$

Untuk menyelesaikan sepasang persamaan dengan substitusi, terlebih dahulu selesaikan satu persamaan untuk satu variabel. Lalu ganti hasil untuk variabel tersebut di persamaan yang lain.

$$3x-6y=-9,-2x-2y=12$$

Pilih salah satu persamaan dan temukan nilai x dengan memisahkan x di sisi kiri tanda sama dengan.

$$3x-6y=-9$$

Tambahkan 6y ke kedua sisi persamaan.

$$3x=6y-9$$

Bagi kedua sisi dengan 3.

$$x=\frac{1}{3}\left(6y-9\right)$$

Kalikan \frac{1}{3} kali 6y-9.

$$x=2y-3$$

Ganti 2y-3 untuk x di persamaan lain, -2x-2y=12.

$$-2\left(2y-3\right)-2y=12$$

Kalikan -2 kali 2y-3.

$$-4y+6-2y=12$$

Tambahkan -4y sampai -2y.

$$-6y+6=12$$

Kurangi 6 dari kedua sisi persamaan.

$$-6y=6$$

Bagi kedua sisi dengan -6.

$$y=-1$$

Ganti -1 untuk y dalam x=2y-3. Karena hasil persamaan hanya berisi satu variabel, Anda dapat menyelesaikan x secara langsung.

$$x=2\left(-1\right)-3$$

Kalikan 2 kali -1.

$$x=-2-3$$

Tambahkan -3 sampai -2.

$$x=-5$$

Sistem kini terselesaikan.

$$x=-5,y=-1$$

Langkah Menggunakan Matriks

Sederhanakan persamaan pertama. Kurangi 6y dari kedua sisi.

$$3x+9-6y=0$$

Kurangi 9 dari kedua sisi. Jika nol dikurangi bilangan tertentu, akan menghasilkan bilangan negatif dari bilangan tersebut.

$$3x-6y=-9$$

Sederhanakan persamaan kedua. Tambahkan 12 ke kedua sisi. Bilangan apa pun yang ditambahkan nol, menghasilkan bilangan itu sendiri.

$$-2x-2y=12$$

Masukkan persamaan dalam bentuk standar lalu gunakan matriks untuk menyelesaikan sistem persamaannya.

$$3x-6y=-9,-2x-2y=12$$

Tulis persamaan dalam bentuk matriks.

$$\left(\begin{matrix}3&-6\\-2&-2\end{matrix}\right)\left(\begin{matrix}x\\y\end{matrix}\right)=\left(\begin{matrix}-9\\12\end{matrix}\right)$$

Kalikan persamaan sisi kiri dengan matriks terbalik \left(\begin{matrix}3&-6\\-2&-2\end{matrix}\right).

$$inverse(\left(\begin{matrix}3&-6\\-2&-2\end{matrix}\right))\left(\begin{matrix}3&-6\\-2&-2\end{matrix}\right)\left(\begin{matrix}x\\y\end{matrix}\right)=inverse(\left(\begin{matrix}3&-6\\-2&-2\end{matrix}\right))\left(\begin{matrix}-9\\12\end{matrix}\right)$$

Hasil kali matriks dan invers-nya adalah matriks identitas.

$$\left(\begin{matrix}1&0\\0&1\end{matrix}\right)\left(\begin{matrix}x\\y\end{matrix}\right)=inverse(\left(\begin{matrix}3&-6\\-2&-2\end{matrix}\right))\left(\begin{matrix}-9\\12\end{matrix}\right)$$

Kalikan matriks pada sisi kiri tanda sama dengan.

$$\left(\begin{matrix}x\\y\end{matrix}\right)=inverse(\left(\begin{matrix}3&-6\\-2&-2\end{matrix}\right))\left(\begin{matrix}-9\\12\end{matrix}\right)$$

Untuk matriks 2\times 2 \left(\begin{matrix}a&b\\c&d\end{matrix}\right), matriks kebalikannya adalah \left(\begin{matrix}\frac{d}{ad-bc}&\frac{-b}{ad-bc}\\\frac{-c}{ad-bc}&\frac{a}{ad-bc}\end{matrix}\right), maka persamaan matriks dapat ditulis ulang sebagai persoalan perkalian matriks.

$$\left(\begin{matrix}x\\y\end{matrix}\right)=\left(\begin{matrix}-\frac{2}{3\left(-2\right)-\left(-6\left(-2\right)\right)}&-\frac{-6}{3\left(-2\right)-\left(-6\left(-2\right)\right)}\\-\frac{-2}{3\left(-2\right)-\left(-6\left(-2\right)\right)}&\frac{3}{3\left(-2\right)-\left(-6\left(-2\right)\right)}\end{matrix}\right)\left(\begin{matrix}-9\\12\end{matrix}\right)$$

Lakukan penghitungannya.

$$\left(\begin{matrix}x\\y\end{matrix}\right)=\left(\begin{matrix}\frac{1}{9}&-\frac{1}{3}\\-\frac{1}{9}&-\frac{1}{6}\end{matrix}\right)\left(\begin{matrix}-9\\12\end{matrix}\right)$$

Kalikan matriks.

$$\left(\begin{matrix}x\\y\end{matrix}\right)=\left(\begin{matrix}\frac{1}{9}\left(-9\right)-\frac{1}{3}\times 12\\-\frac{1}{9}\left(-9\right)-\frac{1}{6}\times 12\end{matrix}\right)$$

Lakukan penghitungannya.

$$\left(\begin{matrix}x\\y\end{matrix}\right)=\left(\begin{matrix}-5\\-1\end{matrix}\right)$$

Ekstrak elemen matriks x dan y.

$$x=-5,y=-1$$

Langkah Menggunakan Eliminasi

Sederhanakan persamaan pertama. Kurangi 6y dari kedua sisi.

$$3x+9-6y=0$$

Kurangi 9 dari kedua sisi. Jika nol dikurangi bilangan tertentu, akan menghasilkan bilangan negatif dari bilangan tersebut.

$$3x-6y=-9$$

Sederhanakan persamaan kedua. Tambahkan 12 ke kedua sisi. Bilangan apa pun yang ditambahkan nol, menghasilkan bilangan itu sendiri.

$$-2x-2y=12$$

Agar dapat menyelesaikan dengan eliminasi, koefisien dari satu variabel harus sama dengan kedua persamaan sehingga variabel dapat disederhanakan saat satu persamaan dikurangi dengan persamaan lainnya.

$$3x-6y=-9,-2x-2y=12$$

Untuk menjadikan 3x dan -2x yang sama, kalikan semua suku pada tiap sisi dari persamaan pertama dengan -2 dan semua suku pada tiap sisi yang kedua dengan 3.

$$-2\times 3x-2\left(-6\right)y=-2\left(-9\right),3\left(-2\right)x+3\left(-2\right)y=3\times 12$$

Sederhanakan.

$$-6x+12y=18,-6x-6y=36$$

Kurangi -6x-6y=36 dari -6x+12y=18 dengan mengurangi suku sejenis pada tiap sisi dari tanda sama dengan.

$$-6x+6x+12y+6y=18-36$$

Tambahkan -6x sampai 6x. Istilah -6x dan 6x dibatalkan, meninggalkan persamaan dengan hanya satu variabel yang dapat diselesaikan.

$$12y+6y=18-36$$

Tambahkan 12y sampai 6y.

$$18y=18-36$$

Tambahkan 18 sampai -36.

$$18y=-18$$

Bagi kedua sisi dengan 18.

$$y=-1$$

Ganti -1 untuk y dalam -2x-2y=12. Karena hasil persamaan hanya berisi satu variabel, Anda dapat menyelesaikan x secara langsung.

$$-2x-2\left(-1\right)=12$$

Kalikan -2 kali -1.

$$-2x+2=12$$

Kurangi 2 dari kedua sisi persamaan.

$$-2x=10$$

Bagi kedua sisi dengan -2.

$$x=-5$$

Sistem kini terselesaikan.

$$x=-5,y=-1$$