Selesaikan 3n^2-4n-15=0

$$3 n ^ { 2 } - 4 n - 15 = 0$$

Cari nilai n

$$n = -\frac{5}{3} = -1\frac{2}{3} \approx -1,666666667$$

$$n=3$$

Langkah Menggunakan Pemfaktoran Dengan Mengelompokkan

Untuk menyelesaikan persamaan, faktorkan sisi kiri dengan mengelompokkan. Pertama, sisi tangan kiri harus ditulis ulang sebagai 3n^{2}+an+bn-15. Untuk menemukan a dan b, siapkan sistem yang akan diselesaikan.

$$a+b=-4 ab=3\left(-15\right)=-45$$

Karena ab negatif, a dan b memiliki tanda yang berlawanan. Karena a+b negatif, angka negatif memiliki nilai absolut yang lebih besar daripada yang positif. Cantumkan semua pasangan bilangan bulat tersebut yang memberikan -45 produk.

$$1,-45 3,-15 5,-9$$

Hitung jumlah untuk setiap pasangan.

$$1-45=-44 3-15=-12 5-9=-4$$

Penyelesaiannya adalah pasangan yang memberikan jumlah -4.

$$a=-9 b=5$$

Tulis ulang 3n^{2}-4n-15 sebagai \left(3n^{2}-9n\right)+\left(5n-15\right).

$$\left(3n^{2}-9n\right)+\left(5n-15\right)$$

Faktor keluar 3n di pertama dan 5 dalam grup kedua.

$$3n\left(n-3\right)+5\left(n-3\right)$$

Faktorkan keluar n-3 suku yang sama dengan menggunakan properti distributif.

$$\left(n-3\right)\left(3n+5\right)$$

Untuk menemukan solusi persamaan, selesaikan n-3=0 dan 3n+5=0.

$$n=3 n=-\frac{5}{3}$$

Langkah-Langkah yang Menggunakan Rumus Kuadrat

Semua persamaan dari bentuk ax^{2}+bx+c=0 dapat diselesaikan menggunakan rumus kuadrat: \frac{-b±\sqrt{b^{2}-4ac}}{2a}. Rumus kuadrat memberi dua penyelesaian, yang pertama adalah ketika ± merupakan penjumlahan dan yang kedua ketika ini merupakan pengurangan.

$$3n^{2}-4n-15=0$$

Persamaan ini ada dalam bentuk standar: ax^{2}+bx+c=0. Ganti 3 dengan a, -4 dengan b, dan -15 dengan c dalam rumus kuadrat, \frac{-b±\sqrt{b^{2}-4ac}}{2a}.

$$n=\frac{-\left(-4\right)±\sqrt{\left(-4\right)^{2}-4\times 3\left(-15\right)}}{2\times 3}$$

-4 kuadrat.

$$n=\frac{-\left(-4\right)±\sqrt{16-4\times 3\left(-15\right)}}{2\times 3}$$

Kalikan -4 kali 3.

$$n=\frac{-\left(-4\right)±\sqrt{16-12\left(-15\right)}}{2\times 3}$$

Kalikan -12 kali -15.

$$n=\frac{-\left(-4\right)±\sqrt{16+180}}{2\times 3}$$

Tambahkan 16 sampai 180.

$$n=\frac{-\left(-4\right)±\sqrt{196}}{2\times 3}$$

Ambil akar kuadrat dari 196.

$$n=\frac{-\left(-4\right)±14}{2\times 3}$$

Kebalikan -4 adalah 4.

$$n=\frac{4±14}{2\times 3}$$

Kalikan 2 kali 3.

$$n=\frac{4±14}{6}$$

Sekarang selesaikan persamaan n=\frac{4±14}{6} jika ± adalah plus. Tambahkan 4 sampai 14.

$$n=\frac{18}{6}$$

Bagi 18 dengan 6.

$$n=3$$

Sekarang selesaikan persamaan n=\frac{4±14}{6} jika ± adalah minus. Kurangi 14 dari 4.

$$n=-\frac{10}{6}$$

Kurangi pecahan \frac{-10}{6} ke suku terendah dengan mengekstraksi dan membatalkan 2.

$$n=-\frac{5}{3}$$

Persamaan kini terselesaikan.

$$n=3 n=-\frac{5}{3}$$

Langkah Penyelesaian Kuadrat

Persamaan kuadrat seperti yang ini dapat diselesaikan dengan melengkapi kuadrat. Agar dapat melengkapi kuadratnya, persamaan harus dalam bentuk x^{2}+bx=c.

$$3n^{2}-4n-15=0$$

Tambahkan 15 ke kedua sisi persamaan.

$$3n^{2}-4n-15-\left(-15\right)=-\left(-15\right)$$

Mengurangi -15 dari bilangan itu sendiri menghasilkan 0.

$$3n^{2}-4n=-\left(-15\right)$$

Kurangi -15 dari 0.

$$3n^{2}-4n=15$$

Bagi kedua sisi dengan 3.

$$\frac{3n^{2}-4n}{3}=\frac{15}{3}$$

Membagi dengan 3 membatalkan perkalian dengan 3.

$$n^{2}-\frac{4}{3}n=\frac{15}{3}$$

Bagi 15 dengan 3.

$$n^{2}-\frac{4}{3}n=5$$

Bagi -\frac{4}{3}, koefisien dari suku x, dengan 2 untuk mendapatkan -\frac{2}{3}. Lalu tambahkan kuadrat dari -\frac{2}{3} ke kedua sisi persamaan. Langkah ini membuat sisi kiri persamaan menjadi kuadrat yang sempurna.

$$n^{2}-\frac{4}{3}n+\left(-\frac{2}{3}\right)^{2}=5+\left(-\frac{2}{3}\right)^{2}$$

Kuadratkan -\frac{2}{3} dengan menguadratkan pembilang dan penyebut dari pecahan.

$$n^{2}-\frac{4}{3}n+\frac{4}{9}=5+\frac{4}{9}$$

Tambahkan 5 sampai \frac{4}{9}.

$$n^{2}-\frac{4}{3}n+\frac{4}{9}=\frac{49}{9}$$

Faktorkan n^{2}-\frac{4}{3}n+\frac{4}{9}. Secara umum, ketika x^{2}+bx+c merupakan kuadrat sempurna, faktor ini selalu dapat difaktorkan sebagai \left(x+\frac{b}{2}\right)^{2}.

$$\left(n-\frac{2}{3}\right)^{2}=\frac{49}{9}$$

Ambil akar kuadrat dari kedua sisi persamaan.

$$\sqrt{\left(n-\frac{2}{3}\right)^{2}}=\sqrt{\frac{49}{9}}$$

Sederhanakan.

$$n-\frac{2}{3}=\frac{7}{3} n-\frac{2}{3}=-\frac{7}{3}$$

Tambahkan \frac{2}{3} ke kedua sisi persamaan.

$$n=3 n=-\frac{5}{3}$$