Selesaikan 256x^2-32x+1=0

$$256 { x }^{ 2 } -32x+1 = 0$$

Cari nilai x

$$x=\frac{1}{16}=0.0625$$

Langkah Menggunakan Pemfaktoran Dengan Mengelompokkan

Untuk menyelesaikan persamaan, faktorkan sisi kiri dengan mengelompokkan. Pertama, sisi tangan kiri harus ditulis ulang sebagai 256x^{2}+ax+bx+1. Untuk menemukan a dan b, siapkan sistem yang akan diselesaikan.

$$a+b=-32 ab=256\times 1=256$$

Karena ab positif, a dan b memiliki tanda yang sama. Karena a+b negatif, a dan b keduanya negatif. Cantumkan semua pasangan bilangan bulat tersebut yang memberikan 256 produk.

$$-1,-256 -2,-128 -4,-64 -8,-32 -16,-16$$

Hitung jumlah untuk setiap pasangan.

$$-1-256=-257 -2-128=-130 -4-64=-68 -8-32=-40 -16-16=-32$$

Penyelesaiannya adalah pasangan yang memberikan jumlah -32.

$$a=-16 b=-16$$

Tulis ulang 256x^{2}-32x+1 sebagai \left(256x^{2}-16x\right)+\left(-16x+1\right).

$$\left(256x^{2}-16x\right)+\left(-16x+1\right)$$

Faktor keluar 16x di pertama dan -1 dalam grup kedua.

$$16x\left(16x-1\right)-\left(16x-1\right)$$

Faktorkan keluar 16x-1 suku yang sama dengan menggunakan properti distributif.

$$\left(16x-1\right)\left(16x-1\right)$$

Tulis ulang sebagai kuadrat binominal.

$$\left(16x-1\right)^{2}$$

Untuk menemukan penyelesaian persamaan, selesaikan 16x-1=0.

$$x=\frac{1}{16}$$

Langkah-Langkah yang Menggunakan Rumus Kuadrat

Semua persamaan dari bentuk ax^{2}+bx+c=0 dapat diselesaikan menggunakan rumus kuadrat: \frac{-b±\sqrt{b^{2}-4ac}}{2a}. Rumus kuadrat memberi dua penyelesaian, yang pertama adalah ketika ± merupakan penjumlahan dan yang kedua ketika ini merupakan pengurangan.

$$256x^{2}-32x+1=0$$

Persamaan ini ada dalam bentuk standar: ax^{2}+bx+c=0. Ganti 256 dengan a, -32 dengan b, dan 1 dengan c dalam rumus kuadrat, \frac{-b±\sqrt{b^{2}-4ac}}{2a}.

$$x=\frac{-\left(-32\right)±\sqrt{\left(-32\right)^{2}-4\times 256}}{2\times 256}$$

-32 kuadrat.

$$x=\frac{-\left(-32\right)±\sqrt{1024-4\times 256}}{2\times 256}$$

Kalikan -4 kali 256.

$$x=\frac{-\left(-32\right)±\sqrt{1024-1024}}{2\times 256}$$

Tambahkan 1024 sampai -1024.

$$x=\frac{-\left(-32\right)±\sqrt{0}}{2\times 256}$$

Ambil akar kuadrat dari 0.

$$x=-\frac{-32}{2\times 256}$$

Kebalikan -32 adalah 32.

$$x=\frac{32}{2\times 256}$$

Kalikan 2 kali 256.

$$x=\frac{32}{512}$$

Kurangi pecahan \frac{32}{512} ke suku terendah dengan mengekstraksi dan membatalkan 32.

$$x=\frac{1}{16}$$

Langkah Penyelesaian Kuadrat

Persamaan kuadrat seperti yang ini dapat diselesaikan dengan melengkapi kuadrat. Agar dapat melengkapi kuadratnya, persamaan harus dalam bentuk x^{2}+bx=c.

$$256x^{2}-32x+1=0$$

Kurangi 1 dari kedua sisi persamaan.

$$256x^{2}-32x+1-1=-1$$

Mengurangi 1 dari bilangan itu sendiri menghasilkan 0.

$$256x^{2}-32x=-1$$

Bagi kedua sisi dengan 256.

$$\frac{256x^{2}-32x}{256}=-\frac{1}{256}$$

Membagi dengan 256 membatalkan perkalian dengan 256.

$$x^{2}+\left(-\frac{32}{256}\right)x=-\frac{1}{256}$$

Kurangi pecahan \frac{-32}{256} ke suku terendah dengan mengekstraksi dan membatalkan 32.

$$x^{2}-\frac{1}{8}x=-\frac{1}{256}$$

Bagi -\frac{1}{8}, koefisien dari suku x, dengan 2 untuk mendapatkan -\frac{1}{16}. Lalu tambahkan kuadrat dari -\frac{1}{16} ke kedua sisi persamaan. Langkah ini membuat sisi kiri persamaan menjadi kuadrat yang sempurna.

$$x^{2}-\frac{1}{8}x+\left(-\frac{1}{16}\right)^{2}=-\frac{1}{256}+\left(-\frac{1}{16}\right)^{2}$$

Kuadratkan -\frac{1}{16} dengan menguadratkan pembilang dan penyebut dari pecahan.

$$x^{2}-\frac{1}{8}x+\frac{1}{256}=\frac{-1+1}{256}$$

Tambahkan -\frac{1}{256} ke \frac{1}{256} dengan mencari faktor persekutuan dan menambahkan pembilang. Lalu kurangi pecahan ke suku terkecil jika memungkinkan.

$$x^{2}-\frac{1}{8}x+\frac{1}{256}=0$$

Faktorkan x^{2}-\frac{1}{8}x+\frac{1}{256}. Secara umum, ketika x^{2}+bx+c merupakan kuadrat sempurna, faktor ini selalu dapat difaktorkan sebagai \left(x+\frac{b}{2}\right)^{2}.

$$\left(x-\frac{1}{16}\right)^{2}=0$$

Ambil akar kuadrat dari kedua sisi persamaan.

$$\sqrt{\left(x-\frac{1}{16}\right)^{2}}=\sqrt{0}$$

Sederhanakan.

$$x-\frac{1}{16}=0 x-\frac{1}{16}=0$$

Tambahkan \frac{1}{16} ke kedua sisi persamaan.

$$x=\frac{1}{16} x=\frac{1}{16}$$

Persamaan kini terselesaikan. Solusinya sama.

$$x=\frac{1}{16}$$