Selesaikan 2x-3y+10=0quadtext{KaHa}5x-y+4=0

$$2 x - 3 y + 10 = 0 \quad \text { KaHa } 5 x - y + 4 = 0$$

Cari nilai x, y

$$x=-\frac{2}{13}\approx -0,153846154$$

$$y = \frac{42}{13} = 3\frac{3}{13} \approx 3,230769231$$

Langkah-Langkah yang Menggunakan Substitusi

Untuk menyelesaikan sepasang persamaan dengan substitusi, terlebih dahulu selesaikan satu persamaan untuk satu variabel. Lalu ganti hasil untuk variabel tersebut di persamaan yang lain.

$$2x-3y+10=0,5x-y+4=0$$

Pilih salah satu persamaan dan temukan nilai x dengan memisahkan x di sisi kiri tanda sama dengan.

$$2x-3y+10=0$$

Kurangi 10 dari kedua sisi persamaan.

$$2x-3y=-10$$

Tambahkan 3y ke kedua sisi persamaan.

$$2x=3y-10$$

Bagi kedua sisi dengan 2.

$$x=\frac{1}{2}\left(3y-10\right)$$

Kalikan \frac{1}{2} kali 3y-10.

$$x=\frac{3}{2}y-5$$

Ganti \frac{3y}{2}-5 untuk x di persamaan lain, 5x-y+4=0.

$$5\left(\frac{3}{2}y-5\right)-y+4=0$$

Kalikan 5 kali \frac{3y}{2}-5.

$$\frac{15}{2}y-25-y+4=0$$

Tambahkan \frac{15y}{2} sampai -y.

$$\frac{13}{2}y-25+4=0$$

Tambahkan -25 sampai 4.

$$\frac{13}{2}y-21=0$$

Tambahkan 21 ke kedua sisi persamaan.

$$\frac{13}{2}y=21$$

Bagi kedua sisi persamaan dengan \frac{13}{2}, yang sama dengan mengalikan kedua sisi dengan resiprokal dari pecahan.

$$y=\frac{42}{13}$$

Ganti \frac{42}{13} untuk y dalam x=\frac{3}{2}y-5. Karena hasil persamaan hanya berisi satu variabel, Anda dapat menyelesaikan x secara langsung.

$$x=\frac{3}{2}\times \frac{42}{13}-5$$

Kalikan \frac{3}{2} kali \frac{42}{13} dengan mengalikan bilangan pembilang dikalikan pembilang dan penyebut dikalikan penyebut. Lalu kurangi pecahan ke suku terkecil jika memungkinkan.

$$x=\frac{63}{13}-5$$

Tambahkan -5 sampai \frac{63}{13}.

$$x=-\frac{2}{13}$$

Sistem kini terselesaikan.

$$x=-\frac{2}{13},y=\frac{42}{13}$$

Langkah Menggunakan Matriks

Masukkan persamaan dalam bentuk standar lalu gunakan matriks untuk menyelesaikan sistem persamaannya.

$$2x-3y+10=0,5x-y+4=0$$

Tulis persamaan dalam bentuk matriks.

$$\left(\begin{matrix}2&-3\\5&-1\end{matrix}\right)\left(\begin{matrix}x\\y\end{matrix}\right)=\left(\begin{matrix}-10\\-4\end{matrix}\right)$$

Kalikan persamaan sisi kiri dengan matriks terbalik \left(\begin{matrix}2&-3\\5&-1\end{matrix}\right).

$$inverse(\left(\begin{matrix}2&-3\\5&-1\end{matrix}\right))\left(\begin{matrix}2&-3\\5&-1\end{matrix}\right)\left(\begin{matrix}x\\y\end{matrix}\right)=inverse(\left(\begin{matrix}2&-3\\5&-1\end{matrix}\right))\left(\begin{matrix}-10\\-4\end{matrix}\right)$$

Hasil kali matriks dan invers-nya adalah matriks identitas.

$$\left(\begin{matrix}1&0\\0&1\end{matrix}\right)\left(\begin{matrix}x\\y\end{matrix}\right)=inverse(\left(\begin{matrix}2&-3\\5&-1\end{matrix}\right))\left(\begin{matrix}-10\\-4\end{matrix}\right)$$

Kalikan matriks pada sisi kiri tanda sama dengan.

$$\left(\begin{matrix}x\\y\end{matrix}\right)=inverse(\left(\begin{matrix}2&-3\\5&-1\end{matrix}\right))\left(\begin{matrix}-10\\-4\end{matrix}\right)$$

Untuk matriks 2\times 2 \left(\begin{matrix}a&b\\c&d\end{matrix}\right), matriks kebalikannya adalah \left(\begin{matrix}\frac{d}{ad-bc}&\frac{-b}{ad-bc}\\\frac{-c}{ad-bc}&\frac{a}{ad-bc}\end{matrix}\right), maka persamaan matriks dapat ditulis ulang sebagai persoalan perkalian matriks.

$$\left(\begin{matrix}x\\y\end{matrix}\right)=\left(\begin{matrix}-\frac{1}{2\left(-1\right)-\left(-3\times 5\right)}&-\frac{-3}{2\left(-1\right)-\left(-3\times 5\right)}\\-\frac{5}{2\left(-1\right)-\left(-3\times 5\right)}&\frac{2}{2\left(-1\right)-\left(-3\times 5\right)}\end{matrix}\right)\left(\begin{matrix}-10\\-4\end{matrix}\right)$$

Lakukan penghitungannya.

$$\left(\begin{matrix}x\\y\end{matrix}\right)=\left(\begin{matrix}-\frac{1}{13}&\frac{3}{13}\\-\frac{5}{13}&\frac{2}{13}\end{matrix}\right)\left(\begin{matrix}-10\\-4\end{matrix}\right)$$

Kalikan matriks.

$$\left(\begin{matrix}x\\y\end{matrix}\right)=\left(\begin{matrix}-\frac{1}{13}\left(-10\right)+\frac{3}{13}\left(-4\right)\\-\frac{5}{13}\left(-10\right)+\frac{2}{13}\left(-4\right)\end{matrix}\right)$$

Lakukan penghitungannya.

$$\left(\begin{matrix}x\\y\end{matrix}\right)=\left(\begin{matrix}-\frac{2}{13}\\\frac{42}{13}\end{matrix}\right)$$

Ekstrak elemen matriks x dan y.

$$x=-\frac{2}{13},y=\frac{42}{13}$$

Langkah Menggunakan Eliminasi

Agar dapat menyelesaikan dengan eliminasi, koefisien dari satu variabel harus sama dengan kedua persamaan sehingga variabel dapat disederhanakan saat satu persamaan dikurangi dengan persamaan lainnya.

$$2x-3y+10=0,5x-y+4=0$$

Untuk menjadikan 2x dan 5x yang sama, kalikan semua suku pada tiap sisi dari persamaan pertama dengan 5 dan semua suku pada tiap sisi yang kedua dengan 2.

$$5\times 2x+5\left(-3\right)y+5\times 10=0,2\times 5x+2\left(-1\right)y+2\times 4=0$$

Sederhanakan.

$$10x-15y+50=0,10x-2y+8=0$$

Kurangi 10x-2y+8=0 dari 10x-15y+50=0 dengan mengurangi suku sejenis pada tiap sisi dari tanda sama dengan.

$$10x-10x-15y+2y+50-8=0$$

Tambahkan 10x sampai -10x. Istilah 10x dan -10x dibatalkan, meninggalkan persamaan dengan hanya satu variabel yang dapat diselesaikan.

$$-15y+2y+50-8=0$$

Tambahkan -15y sampai 2y.

$$-13y+50-8=0$$

Tambahkan 50 sampai -8.

$$-13y+42=0$$

Kurangi 42 dari kedua sisi persamaan.

$$-13y=-42$$

Bagi kedua sisi dengan -13.

$$y=\frac{42}{13}$$

Ganti \frac{42}{13} untuk y dalam 5x-y+4=0. Karena hasil persamaan hanya berisi satu variabel, Anda dapat menyelesaikan x secara langsung.

$$5x-\frac{42}{13}+4=0$$

Tambahkan -\frac{42}{13} sampai 4.

$$5x+\frac{10}{13}=0$$

Kurangi \frac{10}{13} dari kedua sisi persamaan.

$$5x=-\frac{10}{13}$$

Bagi kedua sisi dengan 5.

$$x=-\frac{2}{13}$$

Sistem kini terselesaikan.

$$x=-\frac{2}{13},y=\frac{42}{13}$$