Selesaikan 2x+y=1text{and}x-y=-4

$$2 x + y = 1 \text { and } x - y = - 4$$

Cari nilai x, y

$$x=-1$$

$$y=3$$

Langkah-Langkah yang Menggunakan Substitusi

Untuk menyelesaikan sepasang persamaan dengan substitusi, terlebih dahulu selesaikan satu persamaan untuk satu variabel. Lalu ganti hasil untuk variabel tersebut di persamaan yang lain.

$$2x+y=1,x-y=-4$$

Pilih salah satu persamaan dan temukan nilai x dengan memisahkan x di sisi kiri tanda sama dengan.

$$2x+y=1$$

Kurangi y dari kedua sisi persamaan.

$$2x=-y+1$$

Bagi kedua sisi dengan 2.

$$x=\frac{1}{2}\left(-y+1\right)$$

Kalikan \frac{1}{2} kali -y+1.

$$x=-\frac{1}{2}y+\frac{1}{2}$$

Ganti \frac{-y+1}{2} untuk x di persamaan lain, x-y=-4.

$$-\frac{1}{2}y+\frac{1}{2}-y=-4$$

Tambahkan -\frac{y}{2} sampai -y.

$$-\frac{3}{2}y+\frac{1}{2}=-4$$

Kurangi \frac{1}{2} dari kedua sisi persamaan.

$$-\frac{3}{2}y=-\frac{9}{2}$$

Bagi kedua sisi persamaan dengan -\frac{3}{2}, yang sama dengan mengalikan kedua sisi dengan resiprokal dari pecahan.

$$y=3$$

Ganti 3 untuk y dalam x=-\frac{1}{2}y+\frac{1}{2}. Karena hasil persamaan hanya berisi satu variabel, Anda dapat menyelesaikan x secara langsung.

$$x=-\frac{1}{2}\times 3+\frac{1}{2}$$

Kalikan -\frac{1}{2} kali 3.

$$x=\frac{-3+1}{2}$$

Tambahkan \frac{1}{2} ke -\frac{3}{2} dengan mencari faktor persekutuan dan menambahkan pembilang. Lalu kurangi pecahan ke suku terkecil jika memungkinkan.

$$x=-1$$

Sistem kini terselesaikan.

$$x=-1,y=3$$

Langkah Menggunakan Matriks

Masukkan persamaan dalam bentuk standar lalu gunakan matriks untuk menyelesaikan sistem persamaannya.

$$2x+y=1,x-y=-4$$

Tulis persamaan dalam bentuk matriks.

$$\left(\begin{matrix}2&1\\1&-1\end{matrix}\right)\left(\begin{matrix}x\\y\end{matrix}\right)=\left(\begin{matrix}1\\-4\end{matrix}\right)$$

Kalikan persamaan sisi kiri dengan matriks terbalik \left(\begin{matrix}2&1\\1&-1\end{matrix}\right).

$$inverse(\left(\begin{matrix}2&1\\1&-1\end{matrix}\right))\left(\begin{matrix}2&1\\1&-1\end{matrix}\right)\left(\begin{matrix}x\\y\end{matrix}\right)=inverse(\left(\begin{matrix}2&1\\1&-1\end{matrix}\right))\left(\begin{matrix}1\\-4\end{matrix}\right)$$

Hasil kali matriks dan invers-nya adalah matriks identitas.

$$\left(\begin{matrix}1&0\\0&1\end{matrix}\right)\left(\begin{matrix}x\\y\end{matrix}\right)=inverse(\left(\begin{matrix}2&1\\1&-1\end{matrix}\right))\left(\begin{matrix}1\\-4\end{matrix}\right)$$

Kalikan matriks pada sisi kiri tanda sama dengan.

$$\left(\begin{matrix}x\\y\end{matrix}\right)=inverse(\left(\begin{matrix}2&1\\1&-1\end{matrix}\right))\left(\begin{matrix}1\\-4\end{matrix}\right)$$

Untuk matriks 2\times 2 \left(\begin{matrix}a&b\\c&d\end{matrix}\right), matriks kebalikannya adalah \left(\begin{matrix}\frac{d}{ad-bc}&\frac{-b}{ad-bc}\\\frac{-c}{ad-bc}&\frac{a}{ad-bc}\end{matrix}\right), maka persamaan matriks dapat ditulis ulang sebagai persoalan perkalian matriks.

$$\left(\begin{matrix}x\\y\end{matrix}\right)=\left(\begin{matrix}-\frac{1}{2\left(-1\right)-1}&-\frac{1}{2\left(-1\right)-1}\\-\frac{1}{2\left(-1\right)-1}&\frac{2}{2\left(-1\right)-1}\end{matrix}\right)\left(\begin{matrix}1\\-4\end{matrix}\right)$$

Lakukan penghitungannya.

$$\left(\begin{matrix}x\\y\end{matrix}\right)=\left(\begin{matrix}\frac{1}{3}&\frac{1}{3}\\\frac{1}{3}&-\frac{2}{3}\end{matrix}\right)\left(\begin{matrix}1\\-4\end{matrix}\right)$$

Kalikan matriks.

$$\left(\begin{matrix}x\\y\end{matrix}\right)=\left(\begin{matrix}\frac{1}{3}+\frac{1}{3}\left(-4\right)\\\frac{1}{3}-\frac{2}{3}\left(-4\right)\end{matrix}\right)$$

Lakukan penghitungannya.

$$\left(\begin{matrix}x\\y\end{matrix}\right)=\left(\begin{matrix}-1\\3\end{matrix}\right)$$

Ekstrak elemen matriks x dan y.

$$x=-1,y=3$$

Langkah Menggunakan Eliminasi

Agar dapat menyelesaikan dengan eliminasi, koefisien dari satu variabel harus sama dengan kedua persamaan sehingga variabel dapat disederhanakan saat satu persamaan dikurangi dengan persamaan lainnya.

$$2x+y=1,x-y=-4$$

Untuk menjadikan 2x dan x yang sama, kalikan semua suku pada tiap sisi dari persamaan pertama dengan 1 dan semua suku pada tiap sisi yang kedua dengan 2.

$$2x+y=1,2x+2\left(-1\right)y=2\left(-4\right)$$

Sederhanakan.

$$2x+y=1,2x-2y=-8$$

Kurangi 2x-2y=-8 dari 2x+y=1 dengan mengurangi suku sejenis pada tiap sisi dari tanda sama dengan.

$$2x-2x+y+2y=1+8$$

Tambahkan 2x sampai -2x. Istilah 2x dan -2x dibatalkan, meninggalkan persamaan dengan hanya satu variabel yang dapat diselesaikan.

$$y+2y=1+8$$

Tambahkan y sampai 2y.

$$3y=1+8$$

Tambahkan 1 sampai 8.

$$3y=9$$

Bagi kedua sisi dengan 3.

$$y=3$$

Ganti 3 untuk y dalam x-y=-4. Karena hasil persamaan hanya berisi satu variabel, Anda dapat menyelesaikan x secara langsung.

$$x-3=-4$$

Tambahkan 3 ke kedua sisi persamaan.

$$x=-1$$

Sistem kini terselesaikan.

$$x=-1,y=3$$