Selesaikan 2x+3y=6quadtext{and}quad6x-5y=4

$$2 x + 3 y = 6 \quad \text { and } \quad 6 x - 5 y = 4$$

Cari nilai x, y

$$x = \frac{3}{2} = 1\frac{1}{2} = 1,5$$

$$y=1$$

Langkah-Langkah yang Menggunakan Substitusi

Untuk menyelesaikan sepasang persamaan dengan substitusi, terlebih dahulu selesaikan satu persamaan untuk satu variabel. Lalu ganti hasil untuk variabel tersebut di persamaan yang lain.

$$2x+3y=6,6x-5y=4$$

Pilih salah satu persamaan dan temukan nilai x dengan memisahkan x di sisi kiri tanda sama dengan.

$$2x+3y=6$$

Kurangi 3y dari kedua sisi persamaan.

$$2x=-3y+6$$

Bagi kedua sisi dengan 2.

$$x=\frac{1}{2}\left(-3y+6\right)$$

Kalikan \frac{1}{2} kali -3y+6.

$$x=-\frac{3}{2}y+3$$

Ganti -\frac{3y}{2}+3 untuk x di persamaan lain, 6x-5y=4.

$$6\left(-\frac{3}{2}y+3\right)-5y=4$$

Kalikan 6 kali -\frac{3y}{2}+3.

$$-9y+18-5y=4$$

Tambahkan -9y sampai -5y.

$$-14y+18=4$$

Kurangi 18 dari kedua sisi persamaan.

$$-14y=-14$$

Bagi kedua sisi dengan -14.

$$y=1$$

Ganti 1 untuk y dalam x=-\frac{3}{2}y+3. Karena hasil persamaan hanya berisi satu variabel, Anda dapat menyelesaikan x secara langsung.

$$x=-\frac{3}{2}+3$$

Tambahkan 3 sampai -\frac{3}{2}.

$$x=\frac{3}{2}$$

Sistem kini terselesaikan.

$$x=\frac{3}{2},y=1$$

Langkah Menggunakan Matriks

Masukkan persamaan dalam bentuk standar lalu gunakan matriks untuk menyelesaikan sistem persamaannya.

$$2x+3y=6,6x-5y=4$$

Tulis persamaan dalam bentuk matriks.

$$\left(\begin{matrix}2&3\\6&-5\end{matrix}\right)\left(\begin{matrix}x\\y\end{matrix}\right)=\left(\begin{matrix}6\\4\end{matrix}\right)$$

Kalikan persamaan sisi kiri dengan matriks terbalik \left(\begin{matrix}2&3\\6&-5\end{matrix}\right).

$$inverse(\left(\begin{matrix}2&3\\6&-5\end{matrix}\right))\left(\begin{matrix}2&3\\6&-5\end{matrix}\right)\left(\begin{matrix}x\\y\end{matrix}\right)=inverse(\left(\begin{matrix}2&3\\6&-5\end{matrix}\right))\left(\begin{matrix}6\\4\end{matrix}\right)$$

Hasil kali matriks dan invers-nya adalah matriks identitas.

$$\left(\begin{matrix}1&0\\0&1\end{matrix}\right)\left(\begin{matrix}x\\y\end{matrix}\right)=inverse(\left(\begin{matrix}2&3\\6&-5\end{matrix}\right))\left(\begin{matrix}6\\4\end{matrix}\right)$$

Kalikan matriks pada sisi kiri tanda sama dengan.

$$\left(\begin{matrix}x\\y\end{matrix}\right)=inverse(\left(\begin{matrix}2&3\\6&-5\end{matrix}\right))\left(\begin{matrix}6\\4\end{matrix}\right)$$

Untuk matriks 2\times 2 \left(\begin{matrix}a&b\\c&d\end{matrix}\right), matriks kebalikannya adalah \left(\begin{matrix}\frac{d}{ad-bc}&\frac{-b}{ad-bc}\\\frac{-c}{ad-bc}&\frac{a}{ad-bc}\end{matrix}\right), maka persamaan matriks dapat ditulis ulang sebagai persoalan perkalian matriks.

$$\left(\begin{matrix}x\\y\end{matrix}\right)=\left(\begin{matrix}-\frac{5}{2\left(-5\right)-3\times 6}&-\frac{3}{2\left(-5\right)-3\times 6}\\-\frac{6}{2\left(-5\right)-3\times 6}&\frac{2}{2\left(-5\right)-3\times 6}\end{matrix}\right)\left(\begin{matrix}6\\4\end{matrix}\right)$$

Lakukan penghitungannya.

$$\left(\begin{matrix}x\\y\end{matrix}\right)=\left(\begin{matrix}\frac{5}{28}&\frac{3}{28}\\\frac{3}{14}&-\frac{1}{14}\end{matrix}\right)\left(\begin{matrix}6\\4\end{matrix}\right)$$

Kalikan matriks.

$$\left(\begin{matrix}x\\y\end{matrix}\right)=\left(\begin{matrix}\frac{5}{28}\times 6+\frac{3}{28}\times 4\\\frac{3}{14}\times 6-\frac{1}{14}\times 4\end{matrix}\right)$$

Lakukan penghitungannya.

$$\left(\begin{matrix}x\\y\end{matrix}\right)=\left(\begin{matrix}\frac{3}{2}\\1\end{matrix}\right)$$

Ekstrak elemen matriks x dan y.

$$x=\frac{3}{2},y=1$$

Langkah Menggunakan Eliminasi

Agar dapat menyelesaikan dengan eliminasi, koefisien dari satu variabel harus sama dengan kedua persamaan sehingga variabel dapat disederhanakan saat satu persamaan dikurangi dengan persamaan lainnya.

$$2x+3y=6,6x-5y=4$$

Untuk menjadikan 2x dan 6x yang sama, kalikan semua suku pada tiap sisi dari persamaan pertama dengan 6 dan semua suku pada tiap sisi yang kedua dengan 2.

$$6\times 2x+6\times 3y=6\times 6,2\times 6x+2\left(-5\right)y=2\times 4$$

Sederhanakan.

$$12x+18y=36,12x-10y=8$$

Kurangi 12x-10y=8 dari 12x+18y=36 dengan mengurangi suku sejenis pada tiap sisi dari tanda sama dengan.

$$12x-12x+18y+10y=36-8$$

Tambahkan 12x sampai -12x. Istilah 12x dan -12x dibatalkan, meninggalkan persamaan dengan hanya satu variabel yang dapat diselesaikan.

$$18y+10y=36-8$$

Tambahkan 18y sampai 10y.

$$28y=36-8$$

Tambahkan 36 sampai -8.

$$28y=28$$

Bagi kedua sisi dengan 28.

$$y=1$$

Ganti 1 untuk y dalam 6x-5y=4. Karena hasil persamaan hanya berisi satu variabel, Anda dapat menyelesaikan x secara langsung.

$$6x-5=4$$

Tambahkan 5 ke kedua sisi persamaan.

$$6x=9$$

Bagi kedua sisi dengan 6.

$$x=\frac{3}{2}$$

Sistem kini terselesaikan.

$$x=\frac{3}{2},y=1$$