Selesaikan 2n^2-7n-345=0

$$2 n ^ { 2 } - 7 n - 345 = 0$$

Cari nilai n

$$n = -\frac{23}{2} = -11\frac{1}{2} = -11,5$$

$$n=15$$

Langkah Menggunakan Pemfaktoran Dengan Mengelompokkan

Untuk menyelesaikan persamaan, faktor sisi kiri dengan pengelompokan. Pertama, sisi kiri harus ditulis ulang sebagai 2n^{2}+an+bn-345. Untuk menemukan a dan b, siapkan sistem yang akan diatasi.

$$a+b=-7 ab=2\left(-345\right)=-690$$

Karena ab negatif, a dan b memiliki tanda berlawanan. Karena a+b negatif, angka negatif memiliki nilai absolut yang lebih besar dari positif. Cantumkan semua pasangan bilangan bulat seperti yang memberikan produk -690.

$$1,-690 2,-345 3,-230 5,-138 6,-115 10,-69 15,-46 23,-30$$

Hitung jumlah untuk setiap pasangan.

$$1-690=-689 2-345=-343 3-230=-227 5-138=-133 6-115=-109 10-69=-59 15-46=-31 23-30=-7$$

Penyelesaiannya adalah pasangan yang memberikan jumlah -7.

$$a=-30 b=23$$

Tulis ulang 2n^{2}-7n-345 sebagai \left(2n^{2}-30n\right)+\left(23n-345\right).

$$\left(2n^{2}-30n\right)+\left(23n-345\right)$$

Faktor 2n di pertama dan 23 dalam grup kedua.

$$2n\left(n-15\right)+23\left(n-15\right)$$

Factor istilah umum n-15 dengan menggunakan properti distributif.

$$\left(n-15\right)\left(2n+23\right)$$

Untuk menemukan solusi persamaan, selesaikan n-15=0 dan 2n+23=0.

$$n=15 n=-\frac{23}{2}$$

Langkah-Langkah yang Menggunakan Rumus Kuadrat

Semua persamaan dari bentuk ax^{2}+bx+c=0 dapat diselesaikan menggunakan rumus kuadrat: \frac{-b±\sqrt{b^{2}-4ac}}{2a}. Rumus kuadrat memberi dua penyelesaian, yang pertama adalah ketika ± merupakan penjumlahan dan yang kedua ketika ini merupakan pengurangan.

$$2n^{2}-7n-345=0$$

Persamaan ini ada dalam bentuk standar: ax^{2}+bx+c=0. Ganti 2 dengan a, -7 dengan b, dan -345 dengan c dalam rumus kuadrat, \frac{-b±\sqrt{b^{2}-4ac}}{2a}.

$$n=\frac{-\left(-7\right)±\sqrt{\left(-7\right)^{2}-4\times 2\left(-345\right)}}{2\times 2}$$

-7 kuadrat.

$$n=\frac{-\left(-7\right)±\sqrt{49-4\times 2\left(-345\right)}}{2\times 2}$$

Kalikan -4 kali 2.

$$n=\frac{-\left(-7\right)±\sqrt{49-8\left(-345\right)}}{2\times 2}$$

Kalikan -8 kali -345.

$$n=\frac{-\left(-7\right)±\sqrt{49+2760}}{2\times 2}$$

Tambahkan 49 sampai 2760.

$$n=\frac{-\left(-7\right)±\sqrt{2809}}{2\times 2}$$

Ambil akar kuadrat dari 2809.

$$n=\frac{-\left(-7\right)±53}{2\times 2}$$

Kebalikan -7 adalah 7.

$$n=\frac{7±53}{2\times 2}$$

Kalikan 2 kali 2.

$$n=\frac{7±53}{4}$$

Sekarang selesaikan persamaan n=\frac{7±53}{4} jika ± adalah plus. Tambahkan 7 sampai 53.

$$n=\frac{60}{4}$$

Bagi 60 dengan 4.

$$n=15$$

Sekarang selesaikan persamaan n=\frac{7±53}{4} jika ± adalah minus. Kurangi 53 dari 7.

$$n=-\frac{46}{4}$$

Kurangi pecahan \frac{-46}{4} ke suku terendah dengan mengekstraksi dan membatalkan 2.

$$n=-\frac{23}{2}$$

Persamaan kini terselesaikan.

$$n=15 n=-\frac{23}{2}$$

Langkah Penyelesaian Kuadrat

Persamaan kuadrat seperti yang ini dapat diselesaikan dengan melengkapi kuadrat. Agar dapat melengkapi kuadratnya, persamaan harus dalam bentuk x^{2}+bx=c.

$$2n^{2}-7n-345=0$$

Tambahkan 345 ke kedua sisi persamaan.

$$2n^{2}-7n-345-\left(-345\right)=-\left(-345\right)$$

Mengurangi -345 dari bilangan itu sendiri menghasilkan 0.

$$2n^{2}-7n=-\left(-345\right)$$

Kurangi -345 dari 0.

$$2n^{2}-7n=345$$

Bagi kedua sisi dengan 2.

$$\frac{2n^{2}-7n}{2}=\frac{345}{2}$$

Membagi dengan 2 membatalkan perkalian dengan 2.

$$n^{2}-\frac{7}{2}n=\frac{345}{2}$$

Bagi -\frac{7}{2}, koefisien dari suku x, dengan 2 untuk mendapatkan -\frac{7}{4}. Lalu tambahkan kuadrat dari -\frac{7}{4} ke kedua sisi persamaan. Langkah ini membuat sisi kiri persamaan menjadi kuadrat yang sempurna.

$$n^{2}-\frac{7}{2}n+\left(-\frac{7}{4}\right)^{2}=\frac{345}{2}+\left(-\frac{7}{4}\right)^{2}$$

Kuadratkan -\frac{7}{4} dengan menguadratkan pembilang dan penyebut dari pecahan.

$$n^{2}-\frac{7}{2}n+\frac{49}{16}=\frac{345}{2}+\frac{49}{16}$$

Tambahkan \frac{345}{2} ke \frac{49}{16} dengan mencari faktor persekutuan dan menambahkan pembilang. Lalu kurangi pecahan ke suku terkecil jika memungkinkan.

$$n^{2}-\frac{7}{2}n+\frac{49}{16}=\frac{2809}{16}$$

Faktorkan n^{2}-\frac{7}{2}n+\frac{49}{16}. Secara umum, ketika x^{2}+bx+c adalah kuadrat yang sempurna, itu selalu dapat difaktorkan sebagai \left(x+\frac{b}{2}\right)^{2}.

$$\left(n-\frac{7}{4}\right)^{2}=\frac{2809}{16}$$

Ambil akar kuadrat dari kedua sisi persamaan.

$$\sqrt{\left(n-\frac{7}{4}\right)^{2}}=\sqrt{\frac{2809}{16}}$$

Sederhanakan.

$$n-\frac{7}{4}=\frac{53}{4} n-\frac{7}{4}=-\frac{53}{4}$$

Tambahkan \frac{7}{4} ke kedua sisi persamaan.

$$n=15 n=-\frac{23}{2}$$