Selesaikan 12r^2-11r-15=0

$$12 r ^ { 2 } - 11 r - 15 = 0$$

Cari nilai r

$$r=-\frac{3}{4}=-0,75$$

$$r = \frac{5}{3} = 1\frac{2}{3} \approx 1,666666667$$

Langkah Menggunakan Pemfaktoran Dengan Mengelompokkan

Untuk menyelesaikan persamaan, faktor sisi kiri dengan pengelompokan. Pertama, sisi kiri harus ditulis ulang sebagai 12r^{2}+ar+br-15. Untuk menemukan a dan b, siapkan sistem yang akan diatasi.

$$a+b=-11 ab=12\left(-15\right)=-180$$

Karena ab negatif, a dan b memiliki tanda berlawanan. Karena a+b negatif, angka negatif memiliki nilai absolut yang lebih besar dari positif. Cantumkan semua pasangan bilangan bulat seperti yang memberikan produk -180.

$$1,-180 2,-90 3,-60 4,-45 5,-36 6,-30 9,-20 10,-18 12,-15$$

Hitung jumlah untuk setiap pasangan.

$$1-180=-179 2-90=-88 3-60=-57 4-45=-41 5-36=-31 6-30=-24 9-20=-11 10-18=-8 12-15=-3$$

Penyelesaiannya adalah pasangan yang memberikan jumlah -11.

$$a=-20 b=9$$

Tulis ulang 12r^{2}-11r-15 sebagai \left(12r^{2}-20r\right)+\left(9r-15\right).

$$\left(12r^{2}-20r\right)+\left(9r-15\right)$$

Faktor 4r di pertama dan 3 dalam grup kedua.

$$4r\left(3r-5\right)+3\left(3r-5\right)$$

Factor istilah umum 3r-5 dengan menggunakan properti distributif.

$$\left(3r-5\right)\left(4r+3\right)$$

Untuk menemukan solusi persamaan, selesaikan 3r-5=0 dan 4r+3=0.

$$r=\frac{5}{3} r=-\frac{3}{4}$$

Langkah-Langkah yang Menggunakan Rumus Kuadrat

Semua persamaan dari bentuk ax^{2}+bx+c=0 dapat diselesaikan menggunakan rumus kuadrat: \frac{-b±\sqrt{b^{2}-4ac}}{2a}. Rumus kuadrat memberi dua penyelesaian, yang pertama adalah ketika ± merupakan penjumlahan dan yang kedua ketika ini merupakan pengurangan.

$$12r^{2}-11r-15=0$$

Persamaan ini ada dalam bentuk standar: ax^{2}+bx+c=0. Ganti 12 dengan a, -11 dengan b, dan -15 dengan c dalam rumus kuadrat, \frac{-b±\sqrt{b^{2}-4ac}}{2a}.

$$r=\frac{-\left(-11\right)±\sqrt{\left(-11\right)^{2}-4\times 12\left(-15\right)}}{2\times 12}$$

-11 kuadrat.

$$r=\frac{-\left(-11\right)±\sqrt{121-4\times 12\left(-15\right)}}{2\times 12}$$

Kalikan -4 kali 12.

$$r=\frac{-\left(-11\right)±\sqrt{121-48\left(-15\right)}}{2\times 12}$$

Kalikan -48 kali -15.

$$r=\frac{-\left(-11\right)±\sqrt{121+720}}{2\times 12}$$

Tambahkan 121 sampai 720.

$$r=\frac{-\left(-11\right)±\sqrt{841}}{2\times 12}$$

Ambil akar kuadrat dari 841.

$$r=\frac{-\left(-11\right)±29}{2\times 12}$$

Kebalikan -11 adalah 11.

$$r=\frac{11±29}{2\times 12}$$

Kalikan 2 kali 12.

$$r=\frac{11±29}{24}$$

Sekarang selesaikan persamaan r=\frac{11±29}{24} jika ± adalah plus. Tambahkan 11 sampai 29.

$$r=\frac{40}{24}$$

Kurangi pecahan \frac{40}{24} ke suku terendah dengan mengekstraksi dan membatalkan 8.

$$r=\frac{5}{3}$$

Sekarang selesaikan persamaan r=\frac{11±29}{24} jika ± adalah minus. Kurangi 29 dari 11.

$$r=-\frac{18}{24}$$

Kurangi pecahan \frac{-18}{24} ke suku terendah dengan mengekstraksi dan membatalkan 6.

$$r=-\frac{3}{4}$$

Persamaan kini terselesaikan.

$$r=\frac{5}{3} r=-\frac{3}{4}$$

Langkah Penyelesaian Kuadrat

Persamaan kuadrat seperti yang ini dapat diselesaikan dengan melengkapi kuadrat. Agar dapat melengkapi kuadratnya, persamaan harus dalam bentuk x^{2}+bx=c.

$$12r^{2}-11r-15=0$$

Tambahkan 15 ke kedua sisi persamaan.

$$12r^{2}-11r-15-\left(-15\right)=-\left(-15\right)$$

Mengurangi -15 dari bilangan itu sendiri menghasilkan 0.

$$12r^{2}-11r=-\left(-15\right)$$

Kurangi -15 dari 0.

$$12r^{2}-11r=15$$

Bagi kedua sisi dengan 12.

$$\frac{12r^{2}-11r}{12}=\frac{15}{12}$$

Membagi dengan 12 membatalkan perkalian dengan 12.

$$r^{2}-\frac{11}{12}r=\frac{15}{12}$$

Kurangi pecahan \frac{15}{12} ke suku terendah dengan mengekstraksi dan membatalkan 3.

$$r^{2}-\frac{11}{12}r=\frac{5}{4}$$

Bagi -\frac{11}{12}, koefisien dari suku x, dengan 2 untuk mendapatkan -\frac{11}{24}. Lalu tambahkan kuadrat dari -\frac{11}{24} ke kedua sisi persamaan. Langkah ini membuat sisi kiri persamaan menjadi kuadrat yang sempurna.

$$r^{2}-\frac{11}{12}r+\left(-\frac{11}{24}\right)^{2}=\frac{5}{4}+\left(-\frac{11}{24}\right)^{2}$$

Kuadratkan -\frac{11}{24} dengan menguadratkan pembilang dan penyebut dari pecahan.

$$r^{2}-\frac{11}{12}r+\frac{121}{576}=\frac{5}{4}+\frac{121}{576}$$

Tambahkan \frac{5}{4} ke \frac{121}{576} dengan mencari faktor persekutuan dan menambahkan pembilang. Lalu kurangi pecahan ke suku terkecil jika memungkinkan.

$$r^{2}-\frac{11}{12}r+\frac{121}{576}=\frac{841}{576}$$

Faktorkan r^{2}-\frac{11}{12}r+\frac{121}{576}. Secara umum, ketika x^{2}+bx+c adalah kuadrat yang sempurna, itu selalu dapat difaktorkan sebagai \left(x+\frac{b}{2}\right)^{2}.

$$\left(r-\frac{11}{24}\right)^{2}=\frac{841}{576}$$

Ambil akar kuadrat dari kedua sisi persamaan.

$$\sqrt{\left(r-\frac{11}{24}\right)^{2}}=\sqrt{\frac{841}{576}}$$

Sederhanakan.

$$r-\frac{11}{24}=\frac{29}{24} r-\frac{11}{24}=-\frac{29}{24}$$

Tambahkan \frac{11}{24} ke kedua sisi persamaan.

$$r=\frac{5}{3} r=-\frac{3}{4}$$