Selesaikan x^3+1/x^3=3

$${ x }^{ 3 } + \frac{ 1 }{ { x }^{ 3 } } =3$$

Cari nilai x (complex solution)

$$x\in \frac{2^{\frac{2}{3}}\sqrt[3]{\sqrt{5}+3}e^{\frac{2\pi i}{3}}}{2},\frac{2^{\frac{2}{3}}\sqrt[3]{\sqrt{5}+3}e^{\frac{4\pi i}{3}}}{2},\frac{2^{\frac{2}{3}}\sqrt[3]{\sqrt{5}+3}}{2},\frac{2^{\frac{2}{3}}\sqrt[3]{3-\sqrt{5}}e^{\frac{4\pi i}{3}}}{2},\frac{2^{\frac{2}{3}}\sqrt[3]{3-\sqrt{5}}e^{\frac{2\pi i}{3}}}{2},\frac{2^{\frac{2}{3}}\sqrt[3]{3-\sqrt{5}}}{2}$$

Langkah-Langkah yang Menggunakan Rumus Kuadrat

Variabel x tidak boleh sama dengan 0 karena pembagian dengan nol tidak terdefinisi. Kalikan kedua sisi persamaan dengan x^{3}.

$$x^{3}x^{3}+1=3x^{3}$$

Untuk mengalikan himpunan pangkat dari bilangan dasar yang sama, tambahkan pangkatnya. Tambahkan 3 dan 3 agar menghasilkan 6.

$$x^{6}+1=3x^{3}$$

Kurangi 3x^{3} dari kedua sisi.

$$x^{6}+1-3x^{3}=0$$

Substitusikan t untuk x^{3}.

$$t^{2}-3t+1=0$$

Semua persamaan dalam bentuk ax^{2}+bx+c=0 dapat diselesaikan dengan rumus kuadrat: \frac{-b±\sqrt{b^{2}-4ac}}{2a}. Ganti a dengan 1, b dengan -3, dan c dengan 1 dalam rumus kuadrat.

$$t=\frac{-\left(-3\right)±\sqrt{\left(-3\right)^{2}-4\times 1\times 1}}{2}$$

Lakukan penghitungan.

$$t=\frac{3±\sqrt{5}}{2}$$

Selesaikan persamaan t=\frac{3±\sqrt{5}}{2} jika ± plus dan jika ± minus.

$$t=\frac{\sqrt{5}+3}{2} t=\frac{3-\sqrt{5}}{2}$$

Karena x=t^{3}, solusi diperoleh dengan menyelesaikan persamaan untuk setiap t.

$$x=-\sqrt[3]{\frac{\sqrt{5}+3}{2}}e^{\frac{\pi i}{3}} x=\sqrt[3]{\frac{\sqrt{5}+3}{2}}ie^{\frac{\pi i}{6}} x=\sqrt[3]{\frac{\sqrt{5}+3}{2}} x=-\sqrt[3]{\frac{3-\sqrt{5}}{2}}e^{\frac{\pi i}{3}} x=\sqrt[3]{\frac{3-\sqrt{5}}{2}}ie^{\frac{\pi i}{6}} x=\sqrt[3]{\frac{3-\sqrt{5}}{2}}$$

Variabel x tidak boleh sama dengan 0.

$$x=\sqrt[3]{\frac{3-\sqrt{5}}{2}} x=\sqrt[3]{\frac{3-\sqrt{5}}{2}}ie^{\frac{\pi i}{6}}\text{, }x\neq 0 x=-\sqrt[3]{\frac{3-\sqrt{5}}{2}}e^{\frac{\pi i}{3}}\text{, }x\neq 0 x=\sqrt[3]{\frac{\sqrt{5}+3}{2}} x=\sqrt[3]{\frac{\sqrt{5}+3}{2}}ie^{\frac{\pi i}{6}}\text{, }x\neq 0 x=-\sqrt[3]{\frac{\sqrt{5}+3}{2}}e^{\frac{\pi i}{3}}\text{, }x\neq 0$$

Cari nilai x

$$x=\frac{2^{\frac{2}{3}}\sqrt[3]{3-\sqrt{5}}}{2}\approx 0,72556263$$

$$x = \frac{2 ^ {\frac{2}{3}} \sqrt[3]{\sqrt{5} + 3}}{2} \approx 1,378240772$$

Langkah-Langkah yang Menggunakan Rumus Kuadrat

Variabel x tidak boleh sama dengan 0 karena pembagian dengan nol tidak terdefinisi. Kalikan kedua sisi persamaan dengan x^{3}.

$$x^{3}x^{3}+1=3x^{3}$$

Untuk mengalikan himpunan pangkat dari bilangan dasar yang sama, tambahkan pangkatnya. Tambahkan 3 dan 3 agar menghasilkan 6.

$$x^{6}+1=3x^{3}$$

Kurangi 3x^{3} dari kedua sisi.

$$x^{6}+1-3x^{3}=0$$

Substitusikan t untuk x^{3}.

$$t^{2}-3t+1=0$$

Semua persamaan dalam bentuk ax^{2}+bx+c=0 dapat diselesaikan dengan rumus kuadrat: \frac{-b±\sqrt{b^{2}-4ac}}{2a}. Ganti a dengan 1, b dengan -3, dan c dengan 1 dalam rumus kuadrat.

$$t=\frac{-\left(-3\right)±\sqrt{\left(-3\right)^{2}-4\times 1\times 1}}{2}$$

Lakukan penghitungan.

$$t=\frac{3±\sqrt{5}}{2}$$

Selesaikan persamaan t=\frac{3±\sqrt{5}}{2} jika ± plus dan jika ± minus.

$$t=\frac{\sqrt{5}+3}{2} t=\frac{3-\sqrt{5}}{2}$$

Karena x=t^{3}, solusi ini diperoleh dengan mengevaluasi x=\sqrt[3]{t} untuk setiap t.

$$x=\sqrt[3]{\frac{\sqrt{5}+3}{2}} x=\sqrt[3]{\frac{3-\sqrt{5}}{2}}$$