Selesaikan left(12x+7right)^2(3x+2)(2x+1)=3

$${ \left(12x+7 \right) }^{ 2 } (3x+2)(2x+1)=3$$

Cari nilai x (complex solution)

$$x=-\frac{5}{6}\approx -0,833333333$$

$$x=-\frac{1}{3}\approx -0,333333333$$

$$x=-\frac{\sqrt{2}i}{6}-\frac{7}{12}\approx -0,583333333-0,23570226i$$

$$x=\frac{\sqrt{2}i}{6}-\frac{7}{12}\approx -0,583333333+0,23570226i$$

Langkah Solusi

Gunakan teorema binomial \left(a+b\right)^{2}=a^{2}+2ab+b^{2} untuk menjabarkan \left(12x+7\right)^{2}.

$$\left(144x^{2}+168x+49\right)\left(3x+2\right)\left(2x+1\right)=3$$

Gunakan properti distributif untuk mengalikan 144x^{2}+168x+49 dengan 3x+2 dan menggabungkan suku yang sama.

$$\left(432x^{3}+792x^{2}+483x+98\right)\left(2x+1\right)=3$$

Gunakan properti distributif untuk mengalikan 432x^{3}+792x^{2}+483x+98 dengan 2x+1 dan menggabungkan suku yang sama.

$$864x^{4}+2016x^{3}+1758x^{2}+679x+98=3$$

Kurangi 3 dari kedua sisi.

$$864x^{4}+2016x^{3}+1758x^{2}+679x+98-3=0$$

Kurangi 3 dari 98 untuk mendapatkan 95.

$$864x^{4}+2016x^{3}+1758x^{2}+679x+95=0$$

Oleh rasional akar teorema, Semua akar rasional dari polinomial ada dalam bentuk \frac{p}{q}, di mana p membagi istilah konstan 95 dan q membagi koefisien awal 864. Daftarkan semua kemungkinan \frac{p}{q}.

$$±\frac{95}{864},±\frac{95}{432},±\frac{95}{288},±\frac{95}{216},±\frac{95}{144},±\frac{95}{108},±\frac{95}{96},±\frac{95}{72},±\frac{95}{54},±\frac{95}{48},±\frac{95}{36},±\frac{95}{32},±\frac{95}{27},±\frac{95}{24},±\frac{95}{18},±\frac{95}{16},±\frac{95}{12},±\frac{95}{9},±\frac{95}{8},±\frac{95}{6},±\frac{95}{4},±\frac{95}{3},±\frac{95}{2},±95,±\frac{19}{864},±\frac{19}{432},±\frac{19}{288},±\frac{19}{216},±\frac{19}{144},±\frac{19}{108},±\frac{19}{96},±\frac{19}{72},±\frac{19}{54},±\frac{19}{48},±\frac{19}{36},±\frac{19}{32},±\frac{19}{27},±\frac{19}{24},±\frac{19}{18},±\frac{19}{16},±\frac{19}{12},±\frac{19}{9},±\frac{19}{8},±\frac{19}{6},±\frac{19}{4},±\frac{19}{3},±\frac{19}{2},±19,±\frac{5}{864},±\frac{5}{432},±\frac{5}{288},±\frac{5}{216},±\frac{5}{144},±\frac{5}{108},±\frac{5}{96},±\frac{5}{72},±\frac{5}{54},±\frac{5}{48},±\frac{5}{36},±\frac{5}{32},±\frac{5}{27},±\frac{5}{24},±\frac{5}{18},±\frac{5}{16},±\frac{5}{12},±\frac{5}{9},±\frac{5}{8},±\frac{5}{6},±\frac{5}{4},±\frac{5}{3},±\frac{5}{2},±5,±\frac{1}{864},±\frac{1}{432},±\frac{1}{288},±\frac{1}{216},±\frac{1}{144},±\frac{1}{108},±\frac{1}{96},±\frac{1}{72},±\frac{1}{54},±\frac{1}{48},±\frac{1}{36},±\frac{1}{32},±\frac{1}{27},±\frac{1}{24},±\frac{1}{18},±\frac{1}{16},±\frac{1}{12},±\frac{1}{9},±\frac{1}{8},±\frac{1}{6},±\frac{1}{4},±\frac{1}{3},±\frac{1}{2},±1$$

Temukan akar tersebut dengan mencoba semua nilai bilangan bulat, mulai dari nilai absolut terkecil. Jika tidak ditemukan akar bilangan bulat, cobalah pecahan.

$$x=-\frac{1}{3}$$

Dengan factor teorema, x-k adalah faktor dari polinomial untuk setiap k akar. Bagi 864x^{4}+2016x^{3}+1758x^{2}+679x+95 dengan 3\left(x+\frac{1}{3}\right)=3x+1 untuk mendapatkan 288x^{3}+576x^{2}+394x+95. Pecahkan persamaan di mana hasil sama dengan 0.

$$288x^{3}+576x^{2}+394x+95=0$$

Oleh rasional akar teorema, Semua akar rasional dari polinomial ada dalam bentuk \frac{p}{q}, di mana p membagi istilah konstan 95 dan q membagi koefisien awal 288. Daftarkan semua kemungkinan \frac{p}{q}.

$$±\frac{95}{288},±\frac{95}{144},±\frac{95}{96},±\frac{95}{72},±\frac{95}{48},±\frac{95}{36},±\frac{95}{32},±\frac{95}{24},±\frac{95}{18},±\frac{95}{16},±\frac{95}{12},±\frac{95}{9},±\frac{95}{8},±\frac{95}{6},±\frac{95}{4},±\frac{95}{3},±\frac{95}{2},±95,±\frac{19}{288},±\frac{19}{144},±\frac{19}{96},±\frac{19}{72},±\frac{19}{48},±\frac{19}{36},±\frac{19}{32},±\frac{19}{24},±\frac{19}{18},±\frac{19}{16},±\frac{19}{12},±\frac{19}{9},±\frac{19}{8},±\frac{19}{6},±\frac{19}{4},±\frac{19}{3},±\frac{19}{2},±19,±\frac{5}{288},±\frac{5}{144},±\frac{5}{96},±\frac{5}{72},±\frac{5}{48},±\frac{5}{36},±\frac{5}{32},±\frac{5}{24},±\frac{5}{18},±\frac{5}{16},±\frac{5}{12},±\frac{5}{9},±\frac{5}{8},±\frac{5}{6},±\frac{5}{4},±\frac{5}{3},±\frac{5}{2},±5,±\frac{1}{288},±\frac{1}{144},±\frac{1}{96},±\frac{1}{72},±\frac{1}{48},±\frac{1}{36},±\frac{1}{32},±\frac{1}{24},±\frac{1}{18},±\frac{1}{16},±\frac{1}{12},±\frac{1}{9},±\frac{1}{8},±\frac{1}{6},±\frac{1}{4},±\frac{1}{3},±\frac{1}{2},±1$$

Temukan akar tersebut dengan mencoba semua nilai bilangan bulat, mulai dari nilai absolut terkecil. Jika tidak ditemukan akar bilangan bulat, cobalah pecahan.

$$x=-\frac{5}{6}$$

Dengan factor teorema, x-k adalah faktor dari polinomial untuk setiap k akar. Bagi 288x^{3}+576x^{2}+394x+95 dengan 6\left(x+\frac{5}{6}\right)=6x+5 untuk mendapatkan 48x^{2}+56x+19. Pecahkan persamaan di mana hasil sama dengan 0.

$$48x^{2}+56x+19=0$$

Semua persamaan dalam bentuk ax^{2}+bx+c=0 dapat diselesaikan dengan rumus kuadrat: \frac{-b±\sqrt{b^{2}-4ac}}{2a}. Ganti a dengan 48, b dengan 56, dan c dengan 19 dalam rumus kuadrat.

$$x=\frac{-56±\sqrt{56^{2}-4\times 48\times 19}}{2\times 48}$$

Lakukan penghitungan.

$$x=\frac{-56±\sqrt{-512}}{96}$$

Selesaikan persamaan 48x^{2}+56x+19=0 jika ± plus dan jika ± minus.

$$x=-\frac{\sqrt{2}i}{6}-\frac{7}{12} x=\frac{\sqrt{2}i}{6}-\frac{7}{12}$$

Cantumkan semua solusi yang ditemukan.

$$x=-\frac{1}{3} x=-\frac{5}{6} x=-\frac{\sqrt{2}i}{6}-\frac{7}{12} x=\frac{\sqrt{2}i}{6}-\frac{7}{12}$$

Cari nilai x

$$x=-\frac{5}{6}\approx -0,833333333$$

$$x=-\frac{1}{3}\approx -0,333333333$$

Langkah Solusi

Gunakan teorema binomial \left(a+b\right)^{2}=a^{2}+2ab+b^{2} untuk menjabarkan \left(12x+7\right)^{2}.

$$\left(144x^{2}+168x+49\right)\left(3x+2\right)\left(2x+1\right)=3$$

Gunakan properti distributif untuk mengalikan 144x^{2}+168x+49 dengan 3x+2 dan menggabungkan suku yang sama.

$$\left(432x^{3}+792x^{2}+483x+98\right)\left(2x+1\right)=3$$

Gunakan properti distributif untuk mengalikan 432x^{3}+792x^{2}+483x+98 dengan 2x+1 dan menggabungkan suku yang sama.

$$864x^{4}+2016x^{3}+1758x^{2}+679x+98=3$$

Kurangi 3 dari kedua sisi.

$$864x^{4}+2016x^{3}+1758x^{2}+679x+98-3=0$$

Kurangi 3 dari 98 untuk mendapatkan 95.

$$864x^{4}+2016x^{3}+1758x^{2}+679x+95=0$$

Oleh rasional akar teorema, Semua akar rasional dari polinomial ada dalam bentuk \frac{p}{q}, di mana p membagi istilah konstan 95 dan q membagi koefisien awal 864. Daftarkan semua kemungkinan \frac{p}{q}.

$$±\frac{95}{864},±\frac{95}{432},±\frac{95}{288},±\frac{95}{216},±\frac{95}{144},±\frac{95}{108},±\frac{95}{96},±\frac{95}{72},±\frac{95}{54},±\frac{95}{48},±\frac{95}{36},±\frac{95}{32},±\frac{95}{27},±\frac{95}{24},±\frac{95}{18},±\frac{95}{16},±\frac{95}{12},±\frac{95}{9},±\frac{95}{8},±\frac{95}{6},±\frac{95}{4},±\frac{95}{3},±\frac{95}{2},±95,±\frac{19}{864},±\frac{19}{432},±\frac{19}{288},±\frac{19}{216},±\frac{19}{144},±\frac{19}{108},±\frac{19}{96},±\frac{19}{72},±\frac{19}{54},±\frac{19}{48},±\frac{19}{36},±\frac{19}{32},±\frac{19}{27},±\frac{19}{24},±\frac{19}{18},±\frac{19}{16},±\frac{19}{12},±\frac{19}{9},±\frac{19}{8},±\frac{19}{6},±\frac{19}{4},±\frac{19}{3},±\frac{19}{2},±19,±\frac{5}{864},±\frac{5}{432},±\frac{5}{288},±\frac{5}{216},±\frac{5}{144},±\frac{5}{108},±\frac{5}{96},±\frac{5}{72},±\frac{5}{54},±\frac{5}{48},±\frac{5}{36},±\frac{5}{32},±\frac{5}{27},±\frac{5}{24},±\frac{5}{18},±\frac{5}{16},±\frac{5}{12},±\frac{5}{9},±\frac{5}{8},±\frac{5}{6},±\frac{5}{4},±\frac{5}{3},±\frac{5}{2},±5,±\frac{1}{864},±\frac{1}{432},±\frac{1}{288},±\frac{1}{216},±\frac{1}{144},±\frac{1}{108},±\frac{1}{96},±\frac{1}{72},±\frac{1}{54},±\frac{1}{48},±\frac{1}{36},±\frac{1}{32},±\frac{1}{27},±\frac{1}{24},±\frac{1}{18},±\frac{1}{16},±\frac{1}{12},±\frac{1}{9},±\frac{1}{8},±\frac{1}{6},±\frac{1}{4},±\frac{1}{3},±\frac{1}{2},±1$$

Temukan akar tersebut dengan mencoba semua nilai bilangan bulat, mulai dari nilai absolut terkecil. Jika tidak ditemukan akar bilangan bulat, cobalah pecahan.

$$x=-\frac{1}{3}$$

Dengan factor teorema, x-k adalah faktor dari polinomial untuk setiap k akar. Bagi 864x^{4}+2016x^{3}+1758x^{2}+679x+95 dengan 3\left(x+\frac{1}{3}\right)=3x+1 untuk mendapatkan 288x^{3}+576x^{2}+394x+95. Pecahkan persamaan di mana hasil sama dengan 0.

$$288x^{3}+576x^{2}+394x+95=0$$

Oleh rasional akar teorema, Semua akar rasional dari polinomial ada dalam bentuk \frac{p}{q}, di mana p membagi istilah konstan 95 dan q membagi koefisien awal 288. Daftarkan semua kemungkinan \frac{p}{q}.

$$±\frac{95}{288},±\frac{95}{144},±\frac{95}{96},±\frac{95}{72},±\frac{95}{48},±\frac{95}{36},±\frac{95}{32},±\frac{95}{24},±\frac{95}{18},±\frac{95}{16},±\frac{95}{12},±\frac{95}{9},±\frac{95}{8},±\frac{95}{6},±\frac{95}{4},±\frac{95}{3},±\frac{95}{2},±95,±\frac{19}{288},±\frac{19}{144},±\frac{19}{96},±\frac{19}{72},±\frac{19}{48},±\frac{19}{36},±\frac{19}{32},±\frac{19}{24},±\frac{19}{18},±\frac{19}{16},±\frac{19}{12},±\frac{19}{9},±\frac{19}{8},±\frac{19}{6},±\frac{19}{4},±\frac{19}{3},±\frac{19}{2},±19,±\frac{5}{288},±\frac{5}{144},±\frac{5}{96},±\frac{5}{72},±\frac{5}{48},±\frac{5}{36},±\frac{5}{32},±\frac{5}{24},±\frac{5}{18},±\frac{5}{16},±\frac{5}{12},±\frac{5}{9},±\frac{5}{8},±\frac{5}{6},±\frac{5}{4},±\frac{5}{3},±\frac{5}{2},±5,±\frac{1}{288},±\frac{1}{144},±\frac{1}{96},±\frac{1}{72},±\frac{1}{48},±\frac{1}{36},±\frac{1}{32},±\frac{1}{24},±\frac{1}{18},±\frac{1}{16},±\frac{1}{12},±\frac{1}{9},±\frac{1}{8},±\frac{1}{6},±\frac{1}{4},±\frac{1}{3},±\frac{1}{2},±1$$

Temukan akar tersebut dengan mencoba semua nilai bilangan bulat, mulai dari nilai absolut terkecil. Jika tidak ditemukan akar bilangan bulat, cobalah pecahan.

$$x=-\frac{5}{6}$$

Dengan factor teorema, x-k adalah faktor dari polinomial untuk setiap k akar. Bagi 288x^{3}+576x^{2}+394x+95 dengan 6\left(x+\frac{5}{6}\right)=6x+5 untuk mendapatkan 48x^{2}+56x+19. Pecahkan persamaan di mana hasil sama dengan 0.

$$48x^{2}+56x+19=0$$

Semua persamaan dalam bentuk ax^{2}+bx+c=0 dapat diselesaikan dengan rumus kuadrat: \frac{-b±\sqrt{b^{2}-4ac}}{2a}. Ganti a dengan 48, b dengan 56, dan c dengan 19 dalam rumus kuadrat.

$$x=\frac{-56±\sqrt{56^{2}-4\times 48\times 19}}{2\times 48}$$

Lakukan penghitungan.

$$x=\frac{-56±\sqrt{-512}}{96}$$

Akar kuadrat bilangan negatif tidak didefinisikan di bidang riil, maka tidak ada solusi.

$$x\in \emptyset$$

Cantumkan semua solusi yang ditemukan.

$$x=-\frac{1}{3} x=-\frac{5}{6}$$