Selesaikan sqrt{x+3}+sqrt{x+6}=sqrt{x+11}

$$\sqrt { x + 3 } + \sqrt { x + 6 } = \sqrt { x + 11 }$$

Cari nilai x

$$x=-2$$

Langkah Solusi

Kuadratkan kedua sisi persamaan.

$$\left(\sqrt{x+3}+\sqrt{x+6}\right)^{2}=\left(\sqrt{x+11}\right)^{2}$$

Gunakan teorema binomial \left(a+b\right)^{2}=a^{2}+2ab+b^{2} untuk menjabarkan \left(\sqrt{x+3}+\sqrt{x+6}\right)^{2}.

$$\left(\sqrt{x+3}\right)^{2}+2\sqrt{x+3}\sqrt{x+6}+\left(\sqrt{x+6}\right)^{2}=\left(\sqrt{x+11}\right)^{2}$$

Hitung \sqrt{x+3} sampai pangkat 2 dan dapatkan x+3.

$$x+3+2\sqrt{x+3}\sqrt{x+6}+\left(\sqrt{x+6}\right)^{2}=\left(\sqrt{x+11}\right)^{2}$$

Hitung \sqrt{x+6} sampai pangkat 2 dan dapatkan x+6.

$$x+3+2\sqrt{x+3}\sqrt{x+6}+x+6=\left(\sqrt{x+11}\right)^{2}$$

Gabungkan x dan x untuk mendapatkan 2x.

$$2x+3+2\sqrt{x+3}\sqrt{x+6}+6=\left(\sqrt{x+11}\right)^{2}$$

Tambahkan 3 dan 6 untuk mendapatkan 9.

$$2x+9+2\sqrt{x+3}\sqrt{x+6}=\left(\sqrt{x+11}\right)^{2}$$

Hitung \sqrt{x+11} sampai pangkat 2 dan dapatkan x+11.

$$2x+9+2\sqrt{x+3}\sqrt{x+6}=x+11$$

Kurangi 2x+9 dari kedua sisi persamaan.

$$2\sqrt{x+3}\sqrt{x+6}=x+11-\left(2x+9\right)$$

Untuk menemukan kebalikan dari 2x+9, temukan kebalikan setiap suku.

$$2\sqrt{x+3}\sqrt{x+6}=x+11-2x-9$$

Gabungkan x dan -2x untuk mendapatkan -x.

$$2\sqrt{x+3}\sqrt{x+6}=-x+11-9$$

Kurangi 9 dari 11 untuk mendapatkan 2.

$$2\sqrt{x+3}\sqrt{x+6}=-x+2$$

Kuadratkan kedua sisi persamaan.

$$\left(2\sqrt{x+3}\sqrt{x+6}\right)^{2}=\left(-x+2\right)^{2}$$

Luaskan \left(2\sqrt{x+3}\sqrt{x+6}\right)^{2}.

$$2^{2}\left(\sqrt{x+3}\right)^{2}\left(\sqrt{x+6}\right)^{2}=\left(-x+2\right)^{2}$$

Hitung 2 sampai pangkat 2 dan dapatkan 4.

$$4\left(\sqrt{x+3}\right)^{2}\left(\sqrt{x+6}\right)^{2}=\left(-x+2\right)^{2}$$

Hitung \sqrt{x+3} sampai pangkat 2 dan dapatkan x+3.

$$4\left(x+3\right)\left(\sqrt{x+6}\right)^{2}=\left(-x+2\right)^{2}$$

Hitung \sqrt{x+6} sampai pangkat 2 dan dapatkan x+6.

$$4\left(x+3\right)\left(x+6\right)=\left(-x+2\right)^{2}$$

Gunakan properti distributif untuk mengalikan 4 dengan x+3.

$$\left(4x+12\right)\left(x+6\right)=\left(-x+2\right)^{2}$$

Terapkan properti distributif dengan mengalikan setiap suku 4x+12 dengan setiap suku x+6.

$$4x^{2}+24x+12x+72=\left(-x+2\right)^{2}$$

Gabungkan 24x dan 12x untuk mendapatkan 36x.

$$4x^{2}+36x+72=\left(-x+2\right)^{2}$$

Gunakan teorema binomial \left(a+b\right)^{2}=a^{2}+2ab+b^{2} untuk menjabarkan \left(-x+2\right)^{2}.

$$4x^{2}+36x+72=x^{2}-4x+4$$

Kurangi x^{2} dari kedua sisi.

$$4x^{2}+36x+72-x^{2}=-4x+4$$

Gabungkan 4x^{2} dan -x^{2} untuk mendapatkan 3x^{2}.

$$3x^{2}+36x+72=-4x+4$$

Tambahkan 4x ke kedua sisi.

$$3x^{2}+36x+72+4x=4$$

Gabungkan 36x dan 4x untuk mendapatkan 40x.

$$3x^{2}+40x+72=4$$

Kurangi 4 dari kedua sisi.

$$3x^{2}+40x+72-4=0$$

Kurangi 4 dari 72 untuk mendapatkan 68.

$$3x^{2}+40x+68=0$$

Untuk menyelesaikan persamaan, faktor sisi kiri dengan pengelompokan. Pertama, sisi kiri harus ditulis ulang sebagai 3x^{2}+ax+bx+68. Untuk menemukan a dan b, siapkan sistem yang akan diatasi.

$$a+b=40 ab=3\times 68=204$$

Karena ab positif, a dan b memiliki tanda sama. Karena a+b positif, a dan b keduanya positif. Cantumkan semua pasangan bilangan bulat seperti yang memberikan produk 204.

$$1,204 2,102 3,68 4,51 6,34 12,17$$

Hitung jumlah untuk setiap pasangan.

$$1+204=205 2+102=104 3+68=71 4+51=55 6+34=40 12+17=29$$

Penyelesaiannya adalah pasangan yang memberikan jumlah 40.

$$a=6 b=34$$

Tulis ulang 3x^{2}+40x+68 sebagai \left(3x^{2}+6x\right)+\left(34x+68\right).

$$\left(3x^{2}+6x\right)+\left(34x+68\right)$$

Faktor 3x di pertama dan 34 dalam grup kedua.

$$3x\left(x+2\right)+34\left(x+2\right)$$

Factor istilah umum x+2 dengan menggunakan properti distributif.

$$\left(x+2\right)\left(3x+34\right)$$

Untuk menemukan solusi persamaan, selesaikan x+2=0 dan 3x+34=0.

$$x=-2 x=-\frac{34}{3}$$

Substitusikan -\frac{34}{3} untuk x dalam persamaan \sqrt{x+3}+\sqrt{x+6}=\sqrt{x+11}. Ekspresi yang \sqrt{-\frac{34}{3}+3} tidak ditentukan karena radicand tidak boleh negatif.

$$\sqrt{-\frac{34}{3}+3}+\sqrt{-\frac{34}{3}+6}=\sqrt{-\frac{34}{3}+11}$$

Substitusikan -2 untuk x dalam persamaan \sqrt{x+3}+\sqrt{x+6}=\sqrt{x+11}.

$$\sqrt{-2+3}+\sqrt{-2+6}=\sqrt{-2+11}$$

Sederhanakan. Nilai x=-2 memenuhi persamaan.

$$3=3$$

Persamaan \sqrt{x+3}+\sqrt{x+6}=\sqrt{x+11} memiliki solusi unik.

$$x=-2$$