Selesaikan sqrt{5x-1}-sqrt{3x-2}=sqrt{x-1}

$$\sqrt { 5 x - 1 } - \sqrt { 3 x - 2 } = \sqrt { x - 1 }$$

Cari nilai x

$$x=2$$

Langkah Solusi

Kuadratkan kedua sisi persamaan.

$$\left(\sqrt{5x-1}-\sqrt{3x-2}\right)^{2}=\left(\sqrt{x-1}\right)^{2}$$

Gunakan teorema binomial \left(a-b\right)^{2}=a^{2}-2ab+b^{2} untuk menjabarkan \left(\sqrt{5x-1}-\sqrt{3x-2}\right)^{2}.

$$\left(\sqrt{5x-1}\right)^{2}-2\sqrt{5x-1}\sqrt{3x-2}+\left(\sqrt{3x-2}\right)^{2}=\left(\sqrt{x-1}\right)^{2}$$

Hitung \sqrt{5x-1} sampai pangkat 2 dan dapatkan 5x-1.

$$5x-1-2\sqrt{5x-1}\sqrt{3x-2}+\left(\sqrt{3x-2}\right)^{2}=\left(\sqrt{x-1}\right)^{2}$$

Hitung \sqrt{3x-2} sampai pangkat 2 dan dapatkan 3x-2.

$$5x-1-2\sqrt{5x-1}\sqrt{3x-2}+3x-2=\left(\sqrt{x-1}\right)^{2}$$

Gabungkan 5x dan 3x untuk mendapatkan 8x.

$$8x-1-2\sqrt{5x-1}\sqrt{3x-2}-2=\left(\sqrt{x-1}\right)^{2}$$

Kurangi 2 dari -1 untuk mendapatkan -3.

$$8x-3-2\sqrt{5x-1}\sqrt{3x-2}=\left(\sqrt{x-1}\right)^{2}$$

Hitung \sqrt{x-1} sampai pangkat 2 dan dapatkan x-1.

$$8x-3-2\sqrt{5x-1}\sqrt{3x-2}=x-1$$

Kurangi 8x-3 dari kedua sisi persamaan.

$$-2\sqrt{5x-1}\sqrt{3x-2}=x-1-\left(8x-3\right)$$

Untuk menemukan kebalikan dari 8x-3, temukan kebalikan setiap suku.

$$-2\sqrt{5x-1}\sqrt{3x-2}=x-1-8x+3$$

Gabungkan x dan -8x untuk mendapatkan -7x.

$$-2\sqrt{5x-1}\sqrt{3x-2}=-7x-1+3$$

Tambahkan -1 dan 3 untuk mendapatkan 2.

$$-2\sqrt{5x-1}\sqrt{3x-2}=-7x+2$$

Kuadratkan kedua sisi persamaan.

$$\left(-2\sqrt{5x-1}\sqrt{3x-2}\right)^{2}=\left(-7x+2\right)^{2}$$

Luaskan \left(-2\sqrt{5x-1}\sqrt{3x-2}\right)^{2}.

$$\left(-2\right)^{2}\left(\sqrt{5x-1}\right)^{2}\left(\sqrt{3x-2}\right)^{2}=\left(-7x+2\right)^{2}$$

Hitung -2 sampai pangkat 2 dan dapatkan 4.

$$4\left(\sqrt{5x-1}\right)^{2}\left(\sqrt{3x-2}\right)^{2}=\left(-7x+2\right)^{2}$$

Hitung \sqrt{5x-1} sampai pangkat 2 dan dapatkan 5x-1.

$$4\left(5x-1\right)\left(\sqrt{3x-2}\right)^{2}=\left(-7x+2\right)^{2}$$

Hitung \sqrt{3x-2} sampai pangkat 2 dan dapatkan 3x-2.

$$4\left(5x-1\right)\left(3x-2\right)=\left(-7x+2\right)^{2}$$

Gunakan properti distributif untuk mengalikan 4 dengan 5x-1.

$$\left(20x-4\right)\left(3x-2\right)=\left(-7x+2\right)^{2}$$

Terapkan properti distributif dengan mengalikan setiap suku 20x-4 dengan setiap suku 3x-2.

$$60x^{2}-40x-12x+8=\left(-7x+2\right)^{2}$$

Gabungkan -40x dan -12x untuk mendapatkan -52x.

$$60x^{2}-52x+8=\left(-7x+2\right)^{2}$$

Gunakan teorema binomial \left(a+b\right)^{2}=a^{2}+2ab+b^{2} untuk menjabarkan \left(-7x+2\right)^{2}.

$$60x^{2}-52x+8=49x^{2}-28x+4$$

Kurangi 49x^{2} dari kedua sisi.

$$60x^{2}-52x+8-49x^{2}=-28x+4$$

Gabungkan 60x^{2} dan -49x^{2} untuk mendapatkan 11x^{2}.

$$11x^{2}-52x+8=-28x+4$$

Tambahkan 28x ke kedua sisi.

$$11x^{2}-52x+8+28x=4$$

Gabungkan -52x dan 28x untuk mendapatkan -24x.

$$11x^{2}-24x+8=4$$

Kurangi 4 dari kedua sisi.

$$11x^{2}-24x+8-4=0$$

Kurangi 4 dari 8 untuk mendapatkan 4.

$$11x^{2}-24x+4=0$$

Untuk menyelesaikan persamaan, faktor sisi kiri dengan pengelompokan. Pertama, sisi kiri harus ditulis ulang sebagai 11x^{2}+ax+bx+4. Untuk menemukan a dan b, siapkan sistem yang akan diatasi.

$$a+b=-24 ab=11\times 4=44$$

Karena ab positif, a dan b memiliki tanda sama. Karena a+b negatif, a dan b keduanya negatif. Cantumkan semua pasangan bilangan bulat seperti yang memberikan produk 44.

$$-1,-44 -2,-22 -4,-11$$

Hitung jumlah untuk setiap pasangan.

$$-1-44=-45 -2-22=-24 -4-11=-15$$

Penyelesaiannya adalah pasangan yang memberikan jumlah -24.

$$a=-22 b=-2$$

Tulis ulang 11x^{2}-24x+4 sebagai \left(11x^{2}-22x\right)+\left(-2x+4\right).

$$\left(11x^{2}-22x\right)+\left(-2x+4\right)$$

Faktor 11x di pertama dan -2 dalam grup kedua.

$$11x\left(x-2\right)-2\left(x-2\right)$$

Factor istilah umum x-2 dengan menggunakan properti distributif.

$$\left(x-2\right)\left(11x-2\right)$$

Untuk menemukan solusi persamaan, selesaikan x-2=0 dan 11x-2=0.

$$x=2 x=\frac{2}{11}$$

Substitusikan \frac{2}{11} untuk x dalam persamaan \sqrt{5x-1}-\sqrt{3x-2}=\sqrt{x-1}. Ekspresi yang \sqrt{5\times \frac{2}{11}-1} tidak ditentukan karena radicand tidak boleh negatif.

$$\sqrt{5\times \frac{2}{11}-1}-\sqrt{3\times \frac{2}{11}-2}=\sqrt{\frac{2}{11}-1}$$

Substitusikan 2 untuk x dalam persamaan \sqrt{5x-1}-\sqrt{3x-2}=\sqrt{x-1}.

$$\sqrt{5\times 2-1}-\sqrt{3\times 2-2}=\sqrt{2-1}$$

Sederhanakan. Nilai x=2 memenuhi persamaan.

$$1=1$$

Persamaan \sqrt{5x-1}-\sqrt{3x-2}=\sqrt{x-1} memiliki solusi unik.

$$x=2$$