Selesaikan sqrt{3x^2}-xsqrt{12}+2xsqrt{75}=sqrt{3}

$$\sqrt { 3 x ^ { 2 } } - x \sqrt { 12 } + 2 x \sqrt { 75 } = \sqrt { 3 }$$

Cari nilai x

$$x=\frac{1}{9}\approx 0,111111111$$

Langkah Solusi

Faktor dari 12=2^{2}\times 3. Tulis ulang akar kuadrat produk \sqrt{2^{2}\times 3} sebagai produk akar persegi \sqrt{2^{2}}\sqrt{3}. Ambil akar kuadrat dari 2^{2}.

$$\sqrt{3x^{2}}-x\times 2\sqrt{3}+2x\sqrt{75}=\sqrt{3}$$

Faktor dari 75=5^{2}\times 3. Tulis ulang akar kuadrat produk \sqrt{5^{2}\times 3} sebagai produk akar persegi \sqrt{5^{2}}\sqrt{3}. Ambil akar kuadrat dari 5^{2}.

$$\sqrt{3x^{2}}-x\times 2\sqrt{3}+2x\times 5\sqrt{3}=\sqrt{3}$$

Kalikan 2 dan 5 untuk mendapatkan 10.

$$\sqrt{3x^{2}}-x\times 2\sqrt{3}+10x\sqrt{3}=\sqrt{3}$$

Kalikan -1 dan 2 untuk mendapatkan -2.

$$\sqrt{3x^{2}}-2x\sqrt{3}+10x\sqrt{3}=\sqrt{3}$$

Gabungkan -2x\sqrt{3} dan 10x\sqrt{3} untuk mendapatkan 8x\sqrt{3}.

$$\sqrt{3x^{2}}+8x\sqrt{3}=\sqrt{3}$$

Kurangi 8x\sqrt{3} dari kedua sisi persamaan.

$$\sqrt{3x^{2}}=\sqrt{3}-8x\sqrt{3}$$

Kuadratkan kedua sisi persamaan.

$$\left(\sqrt{3x^{2}}\right)^{2}=\left(-8x\sqrt{3}+\sqrt{3}\right)^{2}$$

Hitung \sqrt{3x^{2}} sampai pangkat 2 dan dapatkan 3x^{2}.

$$3x^{2}=\left(-8x\sqrt{3}+\sqrt{3}\right)^{2}$$

Gunakan teorema binomial \left(a+b\right)^{2}=a^{2}+2ab+b^{2} untuk menjabarkan \left(-8x\sqrt{3}+\sqrt{3}\right)^{2}.

$$3x^{2}=64x^{2}\left(\sqrt{3}\right)^{2}-16x\sqrt{3}\sqrt{3}+\left(\sqrt{3}\right)^{2}$$

Kalikan \sqrt{3} dan \sqrt{3} untuk mendapatkan 3.

$$3x^{2}=64x^{2}\left(\sqrt{3}\right)^{2}-16x\times 3+\left(\sqrt{3}\right)^{2}$$

Kuadrat \sqrt{3} adalah 3.

$$3x^{2}=64x^{2}\times 3-16x\times 3+\left(\sqrt{3}\right)^{2}$$

Kalikan 64 dan 3 untuk mendapatkan 192.

$$3x^{2}=192x^{2}-16x\times 3+\left(\sqrt{3}\right)^{2}$$

Kalikan -16 dan 3 untuk mendapatkan -48.

$$3x^{2}=192x^{2}-48x+\left(\sqrt{3}\right)^{2}$$

Kuadrat \sqrt{3} adalah 3.

$$3x^{2}=192x^{2}-48x+3$$

Kurangi 192x^{2} dari kedua sisi.

$$3x^{2}-192x^{2}=-48x+3$$

Gabungkan 3x^{2} dan -192x^{2} untuk mendapatkan -189x^{2}.

$$-189x^{2}=-48x+3$$

Tambahkan 48x ke kedua sisi.

$$-189x^{2}+48x=3$$

Kurangi 3 dari kedua sisi.

$$-189x^{2}+48x-3=0$$

Bagi kedua sisi dengan 3.

$$-63x^{2}+16x-1=0$$

Untuk menyelesaikan persamaan, faktor sisi kiri dengan pengelompokan. Pertama, sisi kiri harus ditulis ulang sebagai -63x^{2}+ax+bx-1. Untuk menemukan a dan b, siapkan sistem yang akan diatasi.

$$a+b=16 ab=-63\left(-1\right)=63$$

Karena ab positif, a dan b memiliki tanda sama. Karena a+b positif, a dan b keduanya positif. Cantumkan semua pasangan bilangan bulat seperti yang memberikan produk 63.

$$1,63 3,21 7,9$$

Hitung jumlah untuk setiap pasangan.

$$1+63=64 3+21=24 7+9=16$$

Penyelesaiannya adalah pasangan yang memberikan jumlah 16.

$$a=9 b=7$$

Tulis ulang -63x^{2}+16x-1 sebagai \left(-63x^{2}+9x\right)+\left(7x-1\right).

$$\left(-63x^{2}+9x\right)+\left(7x-1\right)$$

Faktorkan-9x dalam -63x^{2}+9x.

$$-9x\left(7x-1\right)+7x-1$$

Factor istilah umum 7x-1 dengan menggunakan properti distributif.

$$\left(7x-1\right)\left(-9x+1\right)$$

Untuk menemukan solusi persamaan, selesaikan 7x-1=0 dan -9x+1=0.

$$x=\frac{1}{7} x=\frac{1}{9}$$

Substitusikan \frac{1}{7} untuk x dalam persamaan \sqrt{3x^{2}}-x\sqrt{12}+2x\sqrt{75}=\sqrt{3}.

$$\sqrt{3\times \left(\frac{1}{7}\right)^{2}}-\frac{1}{7}\sqrt{12}+2\times \frac{1}{7}\sqrt{75}=\sqrt{3}$$

Sederhanakan. Nilai yang x=\frac{1}{7} tidak memenuhi persamaan.

$$\frac{9}{7}\times 3^{\frac{1}{2}}=3^{\frac{1}{2}}$$

Substitusikan \frac{1}{9} untuk x dalam persamaan \sqrt{3x^{2}}-x\sqrt{12}+2x\sqrt{75}=\sqrt{3}.

$$\sqrt{3\times \left(\frac{1}{9}\right)^{2}}-\frac{1}{9}\sqrt{12}+2\times \frac{1}{9}\sqrt{75}=\sqrt{3}$$

Sederhanakan. Nilai x=\frac{1}{9} memenuhi persamaan.

$$3^{\frac{1}{2}}=3^{\frac{1}{2}}$$

Persamaan \sqrt{3x^{2}}=-8\sqrt{3}x+\sqrt{3} memiliki solusi unik.

$$x=\frac{1}{9}$$