Selesaikan sin(x)

$$\sin ( x )$$

Diferensial w.r.t. x

$$\cos(x)$$

Langkah Menggunakan Definisi Turunan

Untuk fungsi f\left(x\right), turunan merupakan batasan dari \frac{f\left(x+h\right)-f\left(x\right)}{h} saat h masuk ke 0, jika batasan tersebut ada.

$$\frac{\mathrm{d}}{\mathrm{d}x}(\sin(x))=\left(\lim_{h\to 0}\frac{\sin(x+h)-\sin(x)}{h}\right)$$

Gunakan Rumus Jumlah untuk Sinus.

$$\lim_{h\to 0}\frac{\sin(x+h)-\sin(x)}{h}$$

Faktor dari \sin(x).

$$\lim_{h\to 0}\frac{\sin(x)\left(\cos(h)-1\right)+\cos(x)\sin(h)}{h}$$

Tulis ulang batasannya.

$$\left(\lim_{h\to 0}\sin(x)\right)\left(\lim_{h\to 0}\frac{\cos(h)-1}{h}\right)+\left(\lim_{h\to 0}\cos(x)\right)\left(\lim_{h\to 0}\frac{\sin(h)}{h}\right)$$

Gunakan fakta yang menyatakan bahwa x adalah suatu konstanta ketika menghitung batas saat h menuju ke 0.

$$\sin(x)\left(\lim_{h\to 0}\frac{\cos(h)-1}{h}\right)+\cos(x)\left(\lim_{h\to 0}\frac{\sin(h)}{h}\right)$$

Batas dari \lim_{x\to 0}\frac{\sin(x)}{x} adalah 1.

$$\sin(x)\left(\lim_{h\to 0}\frac{\cos(h)-1}{h}\right)+\cos(x)$$

Untuk mengevaluasi batas \lim_{h\to 0}\frac{\cos(h)-1}{h}, terlebih dahulu kalikan pembilang dan penyebut dengan \cos(h)+1.

$$\left(\lim_{h\to 0}\frac{\cos(h)-1}{h}\right)=\left(\lim_{h\to 0}\frac{\left(\cos(h)-1\right)\left(\cos(h)+1\right)}{h\left(\cos(h)+1\right)}\right)$$

Kalikan \cos(h)+1 kali \cos(h)-1.

$$\lim_{h\to 0}\frac{\left(\cos(h)\right)^{2}-1}{h\left(\cos(h)+1\right)}$$

Gunakan Identitas Phytagoras.

$$\lim_{h\to 0}-\frac{\left(\sin(h)\right)^{2}}{h\left(\cos(h)+1\right)}$$

Tulis ulang batasannya.

$$\left(\lim_{h\to 0}-\frac{\sin(h)}{h}\right)\left(\lim_{h\to 0}\frac{\sin(h)}{\cos(h)+1}\right)$$

Batas dari \lim_{x\to 0}\frac{\sin(x)}{x} adalah 1.

$$-\left(\lim_{h\to 0}\frac{\sin(h)}{\cos(h)+1}\right)$$

Gunakan fakta yang \frac{\sin(h)}{\cos(h)+1} berkelanjutan pada 0.

$$\left(\lim_{h\to 0}\frac{\sin(h)}{\cos(h)+1}\right)=0$$

Ganti nilai 0 ke dalam ekspresi \sin(x)\left(\lim_{h\to 0}\frac{\cos(h)-1}{h}\right)+\cos(x).

$$\cos(x)$$

Evaluasi

$$\sin(x)$$