Selesaikan {l}{3x+5y=4}{x-3y=6}

$$\left.\begin{array} { l } { 3 x + 5 y = 4 } \\ { x - 3 y = 6 } \end{array} \right\}$$

Cari nilai x, y

$$x=3$$

$$y=-1$$

Langkah-Langkah yang Menggunakan Substitusi

Untuk menyelesaikan sepasang persamaan dengan substitusi, terlebih dahulu selesaikan satu persamaan untuk satu variabel. Lalu ganti hasil untuk variabel tersebut di persamaan yang lain.

$$3x+5y=4,x-3y=6$$

Pilih salah satu persamaan dan temukan nilai x dengan memisahkan x di sisi kiri tanda sama dengan.

$$3x+5y=4$$

Kurangi 5y dari kedua sisi persamaan.

$$3x=-5y+4$$

Bagi kedua sisi dengan 3.

$$x=\frac{1}{3}\left(-5y+4\right)$$

Kalikan \frac{1}{3} kali -5y+4.

$$x=-\frac{5}{3}y+\frac{4}{3}$$

Ganti \frac{-5y+4}{3} untuk x di persamaan lain, x-3y=6.

$$-\frac{5}{3}y+\frac{4}{3}-3y=6$$

Tambahkan -\frac{5y}{3} sampai -3y.

$$-\frac{14}{3}y+\frac{4}{3}=6$$

Kurangi \frac{4}{3} dari kedua sisi persamaan.

$$-\frac{14}{3}y=\frac{14}{3}$$

Bagi kedua sisi persamaan dengan -\frac{14}{3}, yang sama dengan mengalikan kedua sisi dengan resiprokal dari pecahan.

$$y=-1$$

Ganti -1 untuk y dalam x=-\frac{5}{3}y+\frac{4}{3}. Karena hasil persamaan hanya berisi satu variabel, Anda dapat menyelesaikan x secara langsung.

$$x=-\frac{5}{3}\left(-1\right)+\frac{4}{3}$$

Kalikan -\frac{5}{3} kali -1.

$$x=\frac{5+4}{3}$$

Tambahkan \frac{4}{3} ke \frac{5}{3} dengan mencari faktor persekutuan dan menambahkan pembilang. Lalu kurangi pecahan ke suku terkecil jika memungkinkan.

$$x=3$$

Sistem kini terselesaikan.

$$x=3,y=-1$$

Langkah Menggunakan Matriks

Masukkan persamaan dalam bentuk standar lalu gunakan matriks untuk menyelesaikan sistem persamaannya.

$$3x+5y=4,x-3y=6$$

Tulis persamaan dalam bentuk matriks.

$$\left(\begin{matrix}3&5\\1&-3\end{matrix}\right)\left(\begin{matrix}x\\y\end{matrix}\right)=\left(\begin{matrix}4\\6\end{matrix}\right)$$

Kalikan persamaan sisi kiri dengan matriks terbalik \left(\begin{matrix}3&5\\1&-3\end{matrix}\right).

$$inverse(\left(\begin{matrix}3&5\\1&-3\end{matrix}\right))\left(\begin{matrix}3&5\\1&-3\end{matrix}\right)\left(\begin{matrix}x\\y\end{matrix}\right)=inverse(\left(\begin{matrix}3&5\\1&-3\end{matrix}\right))\left(\begin{matrix}4\\6\end{matrix}\right)$$

Hasil kali matriks dan invers-nya adalah matriks identitas.

$$\left(\begin{matrix}1&0\\0&1\end{matrix}\right)\left(\begin{matrix}x\\y\end{matrix}\right)=inverse(\left(\begin{matrix}3&5\\1&-3\end{matrix}\right))\left(\begin{matrix}4\\6\end{matrix}\right)$$

Kalikan matriks pada sisi kiri tanda sama dengan.

$$\left(\begin{matrix}x\\y\end{matrix}\right)=inverse(\left(\begin{matrix}3&5\\1&-3\end{matrix}\right))\left(\begin{matrix}4\\6\end{matrix}\right)$$

Untuk matriks 2\times 2 \left(\begin{matrix}a&b\\c&d\end{matrix}\right), matriks kebalikannya adalah \left(\begin{matrix}\frac{d}{ad-bc}&\frac{-b}{ad-bc}\\\frac{-c}{ad-bc}&\frac{a}{ad-bc}\end{matrix}\right), sehingga persamaan matriks dapat ditulis ulang sebagai masalah perkalian matriks.

$$\left(\begin{matrix}x\\y\end{matrix}\right)=\left(\begin{matrix}-\frac{3}{3\left(-3\right)-5}&-\frac{5}{3\left(-3\right)-5}\\-\frac{1}{3\left(-3\right)-5}&\frac{3}{3\left(-3\right)-5}\end{matrix}\right)\left(\begin{matrix}4\\6\end{matrix}\right)$$

Lakukan penghitungannya.

$$\left(\begin{matrix}x\\y\end{matrix}\right)=\left(\begin{matrix}\frac{3}{14}&\frac{5}{14}\\\frac{1}{14}&-\frac{3}{14}\end{matrix}\right)\left(\begin{matrix}4\\6\end{matrix}\right)$$

Kalikan matriks.

$$\left(\begin{matrix}x\\y\end{matrix}\right)=\left(\begin{matrix}\frac{3}{14}\times 4+\frac{5}{14}\times 6\\\frac{1}{14}\times 4-\frac{3}{14}\times 6\end{matrix}\right)$$

Lakukan penghitungannya.

$$\left(\begin{matrix}x\\y\end{matrix}\right)=\left(\begin{matrix}3\\-1\end{matrix}\right)$$

Ekstrak elemen matriks x dan y.

$$x=3,y=-1$$

Langkah Menggunakan Eliminasi

Agar dapat menyelesaikan dengan eliminasi, koefisien dari satu variabel harus sama dengan kedua persamaan sehingga variabel dapat disederhanakan saat satu persamaan dikurangi dengan persamaan lainnya.

$$3x+5y=4,x-3y=6$$

Untuk menjadikan 3x dan x yang sama, kalikan semua suku pada tiap sisi dari persamaan pertama dengan 1 dan semua suku pada tiap sisi yang kedua dengan 3.

$$3x+5y=4,3x+3\left(-3\right)y=3\times 6$$

Sederhanakan.

$$3x+5y=4,3x-9y=18$$

Kurangi 3x-9y=18 dari 3x+5y=4 dengan mengurangi suku sejenis pada tiap sisi dari tanda sama dengan.

$$3x-3x+5y+9y=4-18$$

Tambahkan 3x sampai -3x. Suku 3x dan -3x saling membatalkan, meninggalkan sebuah persamaan dengan hanya satu variabel yang dapat diselesaikan.

$$5y+9y=4-18$$

Tambahkan 5y sampai 9y.

$$14y=4-18$$

Tambahkan 4 sampai -18.

$$14y=-14$$

Bagi kedua sisi dengan 14.

$$y=-1$$

Ganti -1 untuk y dalam x-3y=6. Karena hasil persamaan hanya berisi satu variabel, Anda dapat menyelesaikan x secara langsung.

$$x-3\left(-1\right)=6$$

Kalikan -3 kali -1.

$$x+3=6$$

Kurangi 3 dari kedua sisi persamaan.

$$x=3$$

Sistem kini terselesaikan.

$$x=3,y=-1$$