Selesaikan {x=5-y}{7x+3y=47}

$$\left. \begin{cases} { x = 5-y } \\ { 7x+3y = 47 } \end{cases} \right.$$

Cari nilai x, y

$$x=8$$

$$y=-3$$

Langkah-Langkah yang Menggunakan Substitusi

Sederhanakan persamaan pertama. Tambahkan y ke kedua sisi.

$$x+y=5$$

Untuk menyelesaikan sepasang persamaan dengan substitusi, terlebih dahulu selesaikan satu persamaan untuk satu variabel. Lalu ganti hasil untuk variabel tersebut di persamaan yang lain.

$$x+y=5,7x+3y=47$$

Pilih salah satu persamaan dan temukan nilai x dengan memisahkan x di sisi kiri tanda sama dengan.

$$x+y=5$$

Kurangi y dari kedua sisi persamaan.

$$x=-y+5$$

Ganti -y+5 untuk x di persamaan lain, 7x+3y=47.

$$7\left(-y+5\right)+3y=47$$

Kalikan 7 kali -y+5.

$$-7y+35+3y=47$$

Tambahkan -7y sampai 3y.

$$-4y+35=47$$

Kurangi 35 dari kedua sisi persamaan.

$$-4y=12$$

Bagi kedua sisi dengan -4.

$$y=-3$$

Ganti -3 untuk y dalam x=-y+5. Karena hasil persamaan hanya berisi satu variabel, Anda dapat menyelesaikan x secara langsung.

$$x=-\left(-3\right)+5$$

Kalikan -1 kali -3.

$$x=3+5$$

Tambahkan 5 sampai 3.

$$x=8$$

Sistem kini terselesaikan.

$$x=8,y=-3$$

Langkah Menggunakan Matriks

Sederhanakan persamaan pertama. Tambahkan y ke kedua sisi.

$$x+y=5$$

Masukkan persamaan dalam bentuk standar lalu gunakan matriks untuk menyelesaikan sistem persamaannya.

$$x+y=5,7x+3y=47$$

Tulis persamaan dalam bentuk matriks.

$$\left(\begin{matrix}1&1\\7&3\end{matrix}\right)\left(\begin{matrix}x\\y\end{matrix}\right)=\left(\begin{matrix}5\\47\end{matrix}\right)$$

Kalikan persamaan sisi kiri dengan matriks terbalik \left(\begin{matrix}1&1\\7&3\end{matrix}\right).

$$inverse(\left(\begin{matrix}1&1\\7&3\end{matrix}\right))\left(\begin{matrix}1&1\\7&3\end{matrix}\right)\left(\begin{matrix}x\\y\end{matrix}\right)=inverse(\left(\begin{matrix}1&1\\7&3\end{matrix}\right))\left(\begin{matrix}5\\47\end{matrix}\right)$$

Hasil kali matriks dan invers-nya adalah matriks identitas.

$$\left(\begin{matrix}1&0\\0&1\end{matrix}\right)\left(\begin{matrix}x\\y\end{matrix}\right)=inverse(\left(\begin{matrix}1&1\\7&3\end{matrix}\right))\left(\begin{matrix}5\\47\end{matrix}\right)$$

Kalikan matriks pada sisi kiri tanda sama dengan.

$$\left(\begin{matrix}x\\y\end{matrix}\right)=inverse(\left(\begin{matrix}1&1\\7&3\end{matrix}\right))\left(\begin{matrix}5\\47\end{matrix}\right)$$

Untuk matriks 2\times 2 \left(\begin{matrix}a&b\\c&d\end{matrix}\right), matriks kebalikannya adalah \left(\begin{matrix}\frac{d}{ad-bc}&\frac{-b}{ad-bc}\\\frac{-c}{ad-bc}&\frac{a}{ad-bc}\end{matrix}\right), sehingga persamaan matriks dapat ditulis ulang sebagai masalah perkalian matriks.

$$\left(\begin{matrix}x\\y\end{matrix}\right)=\left(\begin{matrix}\frac{3}{3-7}&-\frac{1}{3-7}\\-\frac{7}{3-7}&\frac{1}{3-7}\end{matrix}\right)\left(\begin{matrix}5\\47\end{matrix}\right)$$

Lakukan penghitungannya.

$$\left(\begin{matrix}x\\y\end{matrix}\right)=\left(\begin{matrix}-\frac{3}{4}&\frac{1}{4}\\\frac{7}{4}&-\frac{1}{4}\end{matrix}\right)\left(\begin{matrix}5\\47\end{matrix}\right)$$

Kalikan matriks.

$$\left(\begin{matrix}x\\y\end{matrix}\right)=\left(\begin{matrix}-\frac{3}{4}\times 5+\frac{1}{4}\times 47\\\frac{7}{4}\times 5-\frac{1}{4}\times 47\end{matrix}\right)$$

Lakukan penghitungannya.

$$\left(\begin{matrix}x\\y\end{matrix}\right)=\left(\begin{matrix}8\\-3\end{matrix}\right)$$

Ekstrak elemen matriks x dan y.

$$x=8,y=-3$$

Langkah Menggunakan Eliminasi

Sederhanakan persamaan pertama. Tambahkan y ke kedua sisi.

$$x+y=5$$

Agar dapat menyelesaikan dengan eliminasi, koefisien dari satu variabel harus sama dengan kedua persamaan sehingga variabel dapat disederhanakan saat satu persamaan dikurangi dengan persamaan lainnya.

$$x+y=5,7x+3y=47$$

Untuk menjadikan x dan 7x yang sama, kalikan semua suku pada tiap sisi dari persamaan pertama dengan 7 dan semua suku pada tiap sisi yang kedua dengan 1.

$$7x+7y=7\times 5,7x+3y=47$$

Sederhanakan.

$$7x+7y=35,7x+3y=47$$

Kurangi 7x+3y=47 dari 7x+7y=35 dengan mengurangi suku sejenis pada tiap sisi dari tanda sama dengan.

$$7x-7x+7y-3y=35-47$$

Tambahkan 7x sampai -7x. Suku 7x dan -7x saling membatalkan, meninggalkan sebuah persamaan dengan hanya satu variabel yang dapat diselesaikan.

$$7y-3y=35-47$$

Tambahkan 7y sampai -3y.

$$4y=35-47$$

Tambahkan 35 sampai -47.

$$4y=-12$$

Bagi kedua sisi dengan 4.

$$y=-3$$

Ganti -3 untuk y dalam 7x+3y=47. Karena hasil persamaan hanya berisi satu variabel, Anda dapat menyelesaikan x secara langsung.

$$7x+3\left(-3\right)=47$$

Kalikan 3 kali -3.

$$7x-9=47$$

Tambahkan 9 ke kedua sisi persamaan.

$$7x=56$$

Bagi kedua sisi dengan 7.

$$x=8$$

Sistem kini terselesaikan.

$$x=8,y=-3$$