Selesaikan {l}{x+2y=3(1+y)+1}{8-y=2(1-y)+3x}

$$\left. \begin{array}{l}{ x + 2 y = 3 ( 1 + y ) + 1 }\\{ 8 - y = 2 ( 1 - y ) + 3 x }\end{array} \right.$$

Cari nilai x, y

$$x=1$$

$$y=-3$$

Langkah-Langkah yang Menggunakan Substitusi

Sederhanakan persamaan pertama. Gunakan properti distributif untuk mengalikan 3 dengan 1+y.

$$x+2y=3+3y+1$$

Tambahkan 3 dan 1 untuk mendapatkan 4.

$$x+2y=4+3y$$

Kurangi 3y dari kedua sisi.

$$x+2y-3y=4$$

Gabungkan 2y dan -3y untuk mendapatkan -y.

$$x-y=4$$

Sederhanakan persamaan kedua. Gunakan properti distributif untuk mengalikan 2 dengan 1-y.

$$8-y=2-2y+3x$$

Tambahkan 2y ke kedua sisi.

$$8-y+2y=2+3x$$

Gabungkan -y dan 2y untuk mendapatkan y.

$$8+y=2+3x$$

Kurangi 3x dari kedua sisi.

$$8+y-3x=2$$

Kurangi 8 dari kedua sisi.

$$y-3x=2-8$$

Kurangi 8 dari 2 untuk mendapatkan -6.

$$y-3x=-6$$

Untuk menyelesaikan sepasang persamaan dengan substitusi, terlebih dahulu selesaikan satu persamaan untuk satu variabel. Lalu ganti hasil untuk variabel tersebut di persamaan yang lain.

$$x-y=4,-3x+y=-6$$

Pilih salah satu persamaan dan temukan nilai x dengan memisahkan x di sisi kiri tanda sama dengan.

$$x-y=4$$

Tambahkan y ke kedua sisi persamaan.

$$x=y+4$$

Ganti y+4 untuk x di persamaan lain, -3x+y=-6.

$$-3\left(y+4\right)+y=-6$$

Kalikan -3 kali y+4.

$$-3y-12+y=-6$$

Tambahkan -3y sampai y.

$$-2y-12=-6$$

Tambahkan 12 ke kedua sisi persamaan.

$$-2y=6$$

Bagi kedua sisi dengan -2.

$$y=-3$$

Ganti -3 untuk y dalam x=y+4. Karena hasil persamaan hanya berisi satu variabel, Anda dapat menyelesaikan x secara langsung.

$$x=-3+4$$

Tambahkan 4 sampai -3.

$$x=1$$

Sistem kini terselesaikan.

$$x=1,y=-3$$

Langkah Menggunakan Matriks

Sederhanakan persamaan pertama. Gunakan properti distributif untuk mengalikan 3 dengan 1+y.

$$x+2y=3+3y+1$$

Tambahkan 3 dan 1 untuk mendapatkan 4.

$$x+2y=4+3y$$

Kurangi 3y dari kedua sisi.

$$x+2y-3y=4$$

Gabungkan 2y dan -3y untuk mendapatkan -y.

$$x-y=4$$

Sederhanakan persamaan kedua. Gunakan properti distributif untuk mengalikan 2 dengan 1-y.

$$8-y=2-2y+3x$$

Tambahkan 2y ke kedua sisi.

$$8-y+2y=2+3x$$

Gabungkan -y dan 2y untuk mendapatkan y.

$$8+y=2+3x$$

Kurangi 3x dari kedua sisi.

$$8+y-3x=2$$

Kurangi 8 dari kedua sisi.

$$y-3x=2-8$$

Kurangi 8 dari 2 untuk mendapatkan -6.

$$y-3x=-6$$

Masukkan persamaan dalam bentuk standar lalu gunakan matriks untuk menyelesaikan sistem persamaannya.

$$x-y=4,-3x+y=-6$$

Tulis persamaan dalam bentuk matriks.

$$\left(\begin{matrix}1&-1\\-3&1\end{matrix}\right)\left(\begin{matrix}x\\y\end{matrix}\right)=\left(\begin{matrix}4\\-6\end{matrix}\right)$$

Kalikan persamaan sisi kiri dengan matriks terbalik \left(\begin{matrix}1&-1\\-3&1\end{matrix}\right).

$$inverse(\left(\begin{matrix}1&-1\\-3&1\end{matrix}\right))\left(\begin{matrix}1&-1\\-3&1\end{matrix}\right)\left(\begin{matrix}x\\y\end{matrix}\right)=inverse(\left(\begin{matrix}1&-1\\-3&1\end{matrix}\right))\left(\begin{matrix}4\\-6\end{matrix}\right)$$

Hasil kali matriks dan invers-nya adalah matriks identitas.

$$\left(\begin{matrix}1&0\\0&1\end{matrix}\right)\left(\begin{matrix}x\\y\end{matrix}\right)=inverse(\left(\begin{matrix}1&-1\\-3&1\end{matrix}\right))\left(\begin{matrix}4\\-6\end{matrix}\right)$$

Kalikan matriks pada sisi kiri tanda sama dengan.

$$\left(\begin{matrix}x\\y\end{matrix}\right)=inverse(\left(\begin{matrix}1&-1\\-3&1\end{matrix}\right))\left(\begin{matrix}4\\-6\end{matrix}\right)$$

Untuk matriks 2\times 2 \left(\begin{matrix}a&b\\c&d\end{matrix}\right), matriks kebalikannya adalah \left(\begin{matrix}\frac{d}{ad-bc}&\frac{-b}{ad-bc}\\\frac{-c}{ad-bc}&\frac{a}{ad-bc}\end{matrix}\right), sehingga persamaan matriks dapat ditulis ulang sebagai masalah perkalian matriks.

$$\left(\begin{matrix}x\\y\end{matrix}\right)=\left(\begin{matrix}\frac{1}{1-\left(-\left(-3\right)\right)}&-\frac{-1}{1-\left(-\left(-3\right)\right)}\\-\frac{-3}{1-\left(-\left(-3\right)\right)}&\frac{1}{1-\left(-\left(-3\right)\right)}\end{matrix}\right)\left(\begin{matrix}4\\-6\end{matrix}\right)$$

Lakukan penghitungannya.

$$\left(\begin{matrix}x\\y\end{matrix}\right)=\left(\begin{matrix}-\frac{1}{2}&-\frac{1}{2}\\-\frac{3}{2}&-\frac{1}{2}\end{matrix}\right)\left(\begin{matrix}4\\-6\end{matrix}\right)$$

Kalikan matriks.

$$\left(\begin{matrix}x\\y\end{matrix}\right)=\left(\begin{matrix}-\frac{1}{2}\times 4-\frac{1}{2}\left(-6\right)\\-\frac{3}{2}\times 4-\frac{1}{2}\left(-6\right)\end{matrix}\right)$$

Lakukan penghitungannya.

$$\left(\begin{matrix}x\\y\end{matrix}\right)=\left(\begin{matrix}1\\-3\end{matrix}\right)$$

Ekstrak elemen matriks x dan y.

$$x=1,y=-3$$

Langkah Menggunakan Eliminasi

Sederhanakan persamaan pertama. Gunakan properti distributif untuk mengalikan 3 dengan 1+y.

$$x+2y=3+3y+1$$

Tambahkan 3 dan 1 untuk mendapatkan 4.

$$x+2y=4+3y$$

Kurangi 3y dari kedua sisi.

$$x+2y-3y=4$$

Gabungkan 2y dan -3y untuk mendapatkan -y.

$$x-y=4$$

Sederhanakan persamaan kedua. Gunakan properti distributif untuk mengalikan 2 dengan 1-y.

$$8-y=2-2y+3x$$

Tambahkan 2y ke kedua sisi.

$$8-y+2y=2+3x$$

Gabungkan -y dan 2y untuk mendapatkan y.

$$8+y=2+3x$$

Kurangi 3x dari kedua sisi.

$$8+y-3x=2$$

Kurangi 8 dari kedua sisi.

$$y-3x=2-8$$

Kurangi 8 dari 2 untuk mendapatkan -6.

$$y-3x=-6$$

Agar dapat menyelesaikan dengan eliminasi, koefisien dari satu variabel harus sama dengan kedua persamaan sehingga variabel dapat disederhanakan saat satu persamaan dikurangi dengan persamaan lainnya.

$$x-y=4,-3x+y=-6$$

Untuk menjadikan x dan -3x yang sama, kalikan semua suku pada tiap sisi dari persamaan pertama dengan -3 dan semua suku pada tiap sisi yang kedua dengan 1.

$$-3x-3\left(-1\right)y=-3\times 4,-3x+y=-6$$

Sederhanakan.

$$-3x+3y=-12,-3x+y=-6$$

Kurangi -3x+y=-6 dari -3x+3y=-12 dengan mengurangi suku sejenis pada tiap sisi dari tanda sama dengan.

$$-3x+3x+3y-y=-12+6$$

Tambahkan -3x sampai 3x. Suku -3x dan 3x saling membatalkan, meninggalkan sebuah persamaan dengan hanya satu variabel yang dapat diselesaikan.

$$3y-y=-12+6$$

Tambahkan 3y sampai -y.

$$2y=-12+6$$

Tambahkan -12 sampai 6.

$$2y=-6$$

Bagi kedua sisi dengan 2.

$$y=-3$$

Ganti -3 untuk y dalam -3x+y=-6. Karena hasil persamaan hanya berisi satu variabel, Anda dapat menyelesaikan x secara langsung.

$$-3x-3=-6$$

Tambahkan 3 ke kedua sisi persamaan.

$$-3x=-3$$

Bagi kedua sisi dengan -3.

$$x=1$$

Sistem kini terselesaikan.

$$x=1,y=-3$$