Selesaikan {l}{5x-4y=-7}{-6x+8y=2}

$$\left. \begin{array}{l}{ 5 x - 4 y = - 7 }\\{ - 6 x + 8 y = 2 }\end{array} \right.$$

Cari nilai x, y

$$x=-3$$

$$y=-2$$

Langkah-Langkah yang Menggunakan Substitusi

Untuk menyelesaikan sepasang persamaan dengan substitusi, terlebih dahulu selesaikan satu persamaan untuk satu variabel. Lalu ganti hasil untuk variabel tersebut di persamaan yang lain.

$$5x-4y=-7,-6x+8y=2$$

Pilih salah satu persamaan dan temukan nilai x dengan memisahkan x di sisi kiri tanda sama dengan.

$$5x-4y=-7$$

Tambahkan 4y ke kedua sisi persamaan.

$$5x=4y-7$$

Bagi kedua sisi dengan 5.

$$x=\frac{1}{5}\left(4y-7\right)$$

Kalikan \frac{1}{5} kali 4y-7.

$$x=\frac{4}{5}y-\frac{7}{5}$$

Ganti \frac{4y-7}{5} untuk x di persamaan lain, -6x+8y=2.

$$-6\left(\frac{4}{5}y-\frac{7}{5}\right)+8y=2$$

Kalikan -6 kali \frac{4y-7}{5}.

$$-\frac{24}{5}y+\frac{42}{5}+8y=2$$

Tambahkan -\frac{24y}{5} sampai 8y.

$$\frac{16}{5}y+\frac{42}{5}=2$$

Kurangi \frac{42}{5} dari kedua sisi persamaan.

$$\frac{16}{5}y=-\frac{32}{5}$$

Bagi kedua sisi persamaan dengan \frac{16}{5}, yang sama dengan mengalikan kedua sisi dengan resiprokal dari pecahan.

$$y=-2$$

Ganti -2 untuk y dalam x=\frac{4}{5}y-\frac{7}{5}. Karena hasil persamaan hanya berisi satu variabel, Anda dapat menyelesaikan x secara langsung.

$$x=\frac{4}{5}\left(-2\right)-\frac{7}{5}$$

Kalikan \frac{4}{5} kali -2.

$$x=\frac{-8-7}{5}$$

Tambahkan -\frac{7}{5} ke -\frac{8}{5} dengan mencari faktor persekutuan dan menambahkan pembilang. Lalu kurangi pecahan ke suku terkecil jika memungkinkan.

$$x=-3$$

Sistem kini terselesaikan.

$$x=-3,y=-2$$

Langkah Menggunakan Matriks

Masukkan persamaan dalam bentuk standar lalu gunakan matriks untuk menyelesaikan sistem persamaannya.

$$5x-4y=-7,-6x+8y=2$$

Tulis persamaan dalam bentuk matriks.

$$\left(\begin{matrix}5&-4\\-6&8\end{matrix}\right)\left(\begin{matrix}x\\y\end{matrix}\right)=\left(\begin{matrix}-7\\2\end{matrix}\right)$$

Kalikan persamaan sisi kiri dengan matriks terbalik \left(\begin{matrix}5&-4\\-6&8\end{matrix}\right).

$$inverse(\left(\begin{matrix}5&-4\\-6&8\end{matrix}\right))\left(\begin{matrix}5&-4\\-6&8\end{matrix}\right)\left(\begin{matrix}x\\y\end{matrix}\right)=inverse(\left(\begin{matrix}5&-4\\-6&8\end{matrix}\right))\left(\begin{matrix}-7\\2\end{matrix}\right)$$

Hasil kali matriks dan invers-nya adalah matriks identitas.

$$\left(\begin{matrix}1&0\\0&1\end{matrix}\right)\left(\begin{matrix}x\\y\end{matrix}\right)=inverse(\left(\begin{matrix}5&-4\\-6&8\end{matrix}\right))\left(\begin{matrix}-7\\2\end{matrix}\right)$$

Kalikan matriks pada sisi kiri tanda sama dengan.

$$\left(\begin{matrix}x\\y\end{matrix}\right)=inverse(\left(\begin{matrix}5&-4\\-6&8\end{matrix}\right))\left(\begin{matrix}-7\\2\end{matrix}\right)$$

Untuk matriks 2\times 2 \left(\begin{matrix}a&b\\c&d\end{matrix}\right), matriks kebalikannya adalah \left(\begin{matrix}\frac{d}{ad-bc}&\frac{-b}{ad-bc}\\\frac{-c}{ad-bc}&\frac{a}{ad-bc}\end{matrix}\right), sehingga persamaan matriks dapat ditulis ulang sebagai masalah perkalian matriks.

$$\left(\begin{matrix}x\\y\end{matrix}\right)=\left(\begin{matrix}\frac{8}{5\times 8-\left(-4\left(-6\right)\right)}&-\frac{-4}{5\times 8-\left(-4\left(-6\right)\right)}\\-\frac{-6}{5\times 8-\left(-4\left(-6\right)\right)}&\frac{5}{5\times 8-\left(-4\left(-6\right)\right)}\end{matrix}\right)\left(\begin{matrix}-7\\2\end{matrix}\right)$$

Lakukan penghitungannya.

$$\left(\begin{matrix}x\\y\end{matrix}\right)=\left(\begin{matrix}\frac{1}{2}&\frac{1}{4}\\\frac{3}{8}&\frac{5}{16}\end{matrix}\right)\left(\begin{matrix}-7\\2\end{matrix}\right)$$

Kalikan matriks.

$$\left(\begin{matrix}x\\y\end{matrix}\right)=\left(\begin{matrix}\frac{1}{2}\left(-7\right)+\frac{1}{4}\times 2\\\frac{3}{8}\left(-7\right)+\frac{5}{16}\times 2\end{matrix}\right)$$

Lakukan penghitungannya.

$$\left(\begin{matrix}x\\y\end{matrix}\right)=\left(\begin{matrix}-3\\-2\end{matrix}\right)$$

Ekstrak elemen matriks x dan y.

$$x=-3,y=-2$$

Langkah Menggunakan Eliminasi

Agar dapat menyelesaikan dengan eliminasi, koefisien dari satu variabel harus sama dengan kedua persamaan sehingga variabel dapat disederhanakan saat satu persamaan dikurangi dengan persamaan lainnya.

$$5x-4y=-7,-6x+8y=2$$

Untuk menjadikan 5x dan -6x yang sama, kalikan semua suku pada tiap sisi dari persamaan pertama dengan -6 dan semua suku pada tiap sisi yang kedua dengan 5.

$$-6\times 5x-6\left(-4\right)y=-6\left(-7\right),5\left(-6\right)x+5\times 8y=5\times 2$$

Sederhanakan.

$$-30x+24y=42,-30x+40y=10$$

Kurangi -30x+40y=10 dari -30x+24y=42 dengan mengurangi suku sejenis pada tiap sisi dari tanda sama dengan.

$$-30x+30x+24y-40y=42-10$$

Tambahkan -30x sampai 30x. Suku -30x dan 30x saling membatalkan, meninggalkan sebuah persamaan dengan hanya satu variabel yang dapat diselesaikan.

$$24y-40y=42-10$$

Tambahkan 24y sampai -40y.

$$-16y=42-10$$

Tambahkan 42 sampai -10.

$$-16y=32$$

Bagi kedua sisi dengan -16.

$$y=-2$$

Ganti -2 untuk y dalam -6x+8y=2. Karena hasil persamaan hanya berisi satu variabel, Anda dapat menyelesaikan x secara langsung.

$$-6x+8\left(-2\right)=2$$

Kalikan 8 kali -2.

$$-6x-16=2$$

Tambahkan 16 ke kedua sisi persamaan.

$$-6x=18$$

Bagi kedua sisi dengan -6.

$$x=-3$$

Sistem kini terselesaikan.

$$x=-3,y=-2$$