Selesaikan {r}{2x+3y=10}{-3x+y=18}

$$\left. \begin{array} { r } { 2 x + 3 y = 10 } \\ { - 3 x + y = 18 } \end{array} \right.$$

Cari nilai x, y

$$x=-4$$

$$y=6$$

Langkah-Langkah yang Menggunakan Substitusi

Untuk menyelesaikan sepasang persamaan dengan substitusi, terlebih dahulu selesaikan satu persamaan untuk satu variabel. Lalu ganti hasil untuk variabel tersebut di persamaan yang lain.

$$2x+3y=10,-3x+y=18$$

Pilih salah satu persamaan dan temukan nilai x dengan memisahkan x di sisi kiri tanda sama dengan.

$$2x+3y=10$$

Kurangi 3y dari kedua sisi persamaan.

$$2x=-3y+10$$

Bagi kedua sisi dengan 2.

$$x=\frac{1}{2}\left(-3y+10\right)$$

Kalikan \frac{1}{2} kali -3y+10.

$$x=-\frac{3}{2}y+5$$

Ganti -\frac{3y}{2}+5 untuk x di persamaan lain, -3x+y=18.

$$-3\left(-\frac{3}{2}y+5\right)+y=18$$

Kalikan -3 kali -\frac{3y}{2}+5.

$$\frac{9}{2}y-15+y=18$$

Tambahkan \frac{9y}{2} sampai y.

$$\frac{11}{2}y-15=18$$

Tambahkan 15 ke kedua sisi persamaan.

$$\frac{11}{2}y=33$$

Bagi kedua sisi persamaan dengan \frac{11}{2}, yang sama dengan mengalikan kedua sisi dengan resiprokal dari pecahan.

$$y=6$$

Ganti 6 untuk y dalam x=-\frac{3}{2}y+5. Karena hasil persamaan hanya berisi satu variabel, Anda dapat menyelesaikan x secara langsung.

$$x=-\frac{3}{2}\times 6+5$$

Kalikan -\frac{3}{2} kali 6.

$$x=-9+5$$

Tambahkan 5 sampai -9.

$$x=-4$$

Sistem kini terselesaikan.

$$x=-4,y=6$$

Langkah Menggunakan Matriks

Masukkan persamaan dalam bentuk standar lalu gunakan matriks untuk menyelesaikan sistem persamaannya.

$$2x+3y=10,-3x+y=18$$

Tulis persamaan dalam bentuk matriks.

$$\left(\begin{matrix}2&3\\-3&1\end{matrix}\right)\left(\begin{matrix}x\\y\end{matrix}\right)=\left(\begin{matrix}10\\18\end{matrix}\right)$$

Kalikan persamaan sisi kiri dengan matriks terbalik \left(\begin{matrix}2&3\\-3&1\end{matrix}\right).

$$inverse(\left(\begin{matrix}2&3\\-3&1\end{matrix}\right))\left(\begin{matrix}2&3\\-3&1\end{matrix}\right)\left(\begin{matrix}x\\y\end{matrix}\right)=inverse(\left(\begin{matrix}2&3\\-3&1\end{matrix}\right))\left(\begin{matrix}10\\18\end{matrix}\right)$$

Hasil kali matriks dan invers-nya adalah matriks identitas.

$$\left(\begin{matrix}1&0\\0&1\end{matrix}\right)\left(\begin{matrix}x\\y\end{matrix}\right)=inverse(\left(\begin{matrix}2&3\\-3&1\end{matrix}\right))\left(\begin{matrix}10\\18\end{matrix}\right)$$

Kalikan matriks pada sisi kiri tanda sama dengan.

$$\left(\begin{matrix}x\\y\end{matrix}\right)=inverse(\left(\begin{matrix}2&3\\-3&1\end{matrix}\right))\left(\begin{matrix}10\\18\end{matrix}\right)$$

Untuk matriks 2\times 2 \left(\begin{matrix}a&b\\c&d\end{matrix}\right), matriks kebalikannya adalah \left(\begin{matrix}\frac{d}{ad-bc}&\frac{-b}{ad-bc}\\\frac{-c}{ad-bc}&\frac{a}{ad-bc}\end{matrix}\right), sehingga persamaan matriks dapat ditulis ulang sebagai masalah perkalian matriks.

$$\left(\begin{matrix}x\\y\end{matrix}\right)=\left(\begin{matrix}\frac{1}{2-3\left(-3\right)}&-\frac{3}{2-3\left(-3\right)}\\-\frac{-3}{2-3\left(-3\right)}&\frac{2}{2-3\left(-3\right)}\end{matrix}\right)\left(\begin{matrix}10\\18\end{matrix}\right)$$

Lakukan penghitungannya.

$$\left(\begin{matrix}x\\y\end{matrix}\right)=\left(\begin{matrix}\frac{1}{11}&-\frac{3}{11}\\\frac{3}{11}&\frac{2}{11}\end{matrix}\right)\left(\begin{matrix}10\\18\end{matrix}\right)$$

Kalikan matriks.

$$\left(\begin{matrix}x\\y\end{matrix}\right)=\left(\begin{matrix}\frac{1}{11}\times 10-\frac{3}{11}\times 18\\\frac{3}{11}\times 10+\frac{2}{11}\times 18\end{matrix}\right)$$

Lakukan penghitungannya.

$$\left(\begin{matrix}x\\y\end{matrix}\right)=\left(\begin{matrix}-4\\6\end{matrix}\right)$$

Ekstrak elemen matriks x dan y.

$$x=-4,y=6$$

Langkah Menggunakan Eliminasi

Agar dapat menyelesaikan dengan eliminasi, koefisien dari satu variabel harus sama dengan kedua persamaan sehingga variabel dapat disederhanakan saat satu persamaan dikurangi dengan persamaan lainnya.

$$2x+3y=10,-3x+y=18$$

Untuk menjadikan 2x dan -3x yang sama, kalikan semua suku pada tiap sisi dari persamaan pertama dengan -3 dan semua suku pada tiap sisi yang kedua dengan 2.

$$-3\times 2x-3\times 3y=-3\times 10,2\left(-3\right)x+2y=2\times 18$$

Sederhanakan.

$$-6x-9y=-30,-6x+2y=36$$

Kurangi -6x+2y=36 dari -6x-9y=-30 dengan mengurangi suku sejenis pada tiap sisi dari tanda sama dengan.

$$-6x+6x-9y-2y=-30-36$$

Tambahkan -6x sampai 6x. Suku -6x dan 6x saling membatalkan, meninggalkan sebuah persamaan dengan hanya satu variabel yang dapat diselesaikan.

$$-9y-2y=-30-36$$

Tambahkan -9y sampai -2y.

$$-11y=-30-36$$

Tambahkan -30 sampai -36.

$$-11y=-66$$

Bagi kedua sisi dengan -11.

$$y=6$$

Ganti 6 untuk y dalam -3x+y=18. Karena hasil persamaan hanya berisi satu variabel, Anda dapat menyelesaikan x secara langsung.

$$-3x+6=18$$

Kurangi 6 dari kedua sisi persamaan.

$$-3x=12$$

Bagi kedua sisi dengan -3.

$$x=-4$$

Sistem kini terselesaikan.

$$x=-4,y=6$$