Selesaikan {l}{x-3=y}{37-3x=y}

$$\left. \begin{array} { l } { x - 3 = y } \\ { 37 - 3 x = y } \end{array} \right.$$

Cari nilai x, y

$$x=10$$

$$y=7$$

Langkah-Langkah yang Menggunakan Substitusi

Sederhanakan persamaan pertama. Kurangi y dari kedua sisi.

$$x-3-y=0$$

Tambahkan 3 ke kedua sisi. Bilangan apa pun yang ditambahkan nol, menghasilkan bilangan itu sendiri.

$$x-y=3$$

Sederhanakan persamaan kedua. Kurangi y dari kedua sisi.

$$37-3x-y=0$$

Kurangi 37 dari kedua sisi. Jika nol dikurangi bilangan tertentu, akan menghasilkan bilangan negatif dari bilangan tersebut.

$$-3x-y=-37$$

Untuk menyelesaikan sepasang persamaan dengan substitusi, terlebih dahulu selesaikan satu persamaan untuk satu variabel. Lalu ganti hasil untuk variabel tersebut di persamaan yang lain.

$$x-y=3,-3x-y=-37$$

Pilih salah satu persamaan dan temukan nilai x dengan memisahkan x di sisi kiri tanda sama dengan.

$$x-y=3$$

Tambahkan y ke kedua sisi persamaan.

$$x=y+3$$

Ganti y+3 untuk x di persamaan lain, -3x-y=-37.

$$-3\left(y+3\right)-y=-37$$

Kalikan -3 kali y+3.

$$-3y-9-y=-37$$

Tambahkan -3y sampai -y.

$$-4y-9=-37$$

Tambahkan 9 ke kedua sisi persamaan.

$$-4y=-28$$

Bagi kedua sisi dengan -4.

$$y=7$$

Ganti 7 untuk y dalam x=y+3. Karena hasil persamaan hanya berisi satu variabel, Anda dapat menyelesaikan x secara langsung.

$$x=7+3$$

Tambahkan 3 sampai 7.

$$x=10$$

Sistem kini terselesaikan.

$$x=10,y=7$$

Langkah Menggunakan Matriks

Sederhanakan persamaan pertama. Kurangi y dari kedua sisi.

$$x-3-y=0$$

Tambahkan 3 ke kedua sisi. Bilangan apa pun yang ditambahkan nol, menghasilkan bilangan itu sendiri.

$$x-y=3$$

Sederhanakan persamaan kedua. Kurangi y dari kedua sisi.

$$37-3x-y=0$$

Kurangi 37 dari kedua sisi. Jika nol dikurangi bilangan tertentu, akan menghasilkan bilangan negatif dari bilangan tersebut.

$$-3x-y=-37$$

Masukkan persamaan dalam bentuk standar lalu gunakan matriks untuk menyelesaikan sistem persamaannya.

$$x-y=3,-3x-y=-37$$

Tulis persamaan dalam bentuk matriks.

$$\left(\begin{matrix}1&-1\\-3&-1\end{matrix}\right)\left(\begin{matrix}x\\y\end{matrix}\right)=\left(\begin{matrix}3\\-37\end{matrix}\right)$$

Kalikan persamaan sisi kiri dengan matriks terbalik \left(\begin{matrix}1&-1\\-3&-1\end{matrix}\right).

$$inverse(\left(\begin{matrix}1&-1\\-3&-1\end{matrix}\right))\left(\begin{matrix}1&-1\\-3&-1\end{matrix}\right)\left(\begin{matrix}x\\y\end{matrix}\right)=inverse(\left(\begin{matrix}1&-1\\-3&-1\end{matrix}\right))\left(\begin{matrix}3\\-37\end{matrix}\right)$$

Hasil kali matriks dan invers-nya adalah matriks identitas.

$$\left(\begin{matrix}1&0\\0&1\end{matrix}\right)\left(\begin{matrix}x\\y\end{matrix}\right)=inverse(\left(\begin{matrix}1&-1\\-3&-1\end{matrix}\right))\left(\begin{matrix}3\\-37\end{matrix}\right)$$

Kalikan matriks pada sisi kiri tanda sama dengan.

$$\left(\begin{matrix}x\\y\end{matrix}\right)=inverse(\left(\begin{matrix}1&-1\\-3&-1\end{matrix}\right))\left(\begin{matrix}3\\-37\end{matrix}\right)$$

Untuk matriks 2\times 2 \left(\begin{matrix}a&b\\c&d\end{matrix}\right), matriks kebalikannya adalah \left(\begin{matrix}\frac{d}{ad-bc}&\frac{-b}{ad-bc}\\\frac{-c}{ad-bc}&\frac{a}{ad-bc}\end{matrix}\right), sehingga persamaan matriks dapat ditulis ulang sebagai masalah perkalian matriks.

$$\left(\begin{matrix}x\\y\end{matrix}\right)=\left(\begin{matrix}-\frac{1}{-1-\left(-\left(-3\right)\right)}&-\frac{-1}{-1-\left(-\left(-3\right)\right)}\\-\frac{-3}{-1-\left(-\left(-3\right)\right)}&\frac{1}{-1-\left(-\left(-3\right)\right)}\end{matrix}\right)\left(\begin{matrix}3\\-37\end{matrix}\right)$$

Lakukan penghitungannya.

$$\left(\begin{matrix}x\\y\end{matrix}\right)=\left(\begin{matrix}\frac{1}{4}&-\frac{1}{4}\\-\frac{3}{4}&-\frac{1}{4}\end{matrix}\right)\left(\begin{matrix}3\\-37\end{matrix}\right)$$

Kalikan matriks.

$$\left(\begin{matrix}x\\y\end{matrix}\right)=\left(\begin{matrix}\frac{1}{4}\times 3-\frac{1}{4}\left(-37\right)\\-\frac{3}{4}\times 3-\frac{1}{4}\left(-37\right)\end{matrix}\right)$$

Lakukan penghitungannya.

$$\left(\begin{matrix}x\\y\end{matrix}\right)=\left(\begin{matrix}10\\7\end{matrix}\right)$$

Ekstrak elemen matriks x dan y.

$$x=10,y=7$$

Langkah Menggunakan Eliminasi

Sederhanakan persamaan pertama. Kurangi y dari kedua sisi.

$$x-3-y=0$$

Tambahkan 3 ke kedua sisi. Bilangan apa pun yang ditambahkan nol, menghasilkan bilangan itu sendiri.

$$x-y=3$$

Sederhanakan persamaan kedua. Kurangi y dari kedua sisi.

$$37-3x-y=0$$

Kurangi 37 dari kedua sisi. Jika nol dikurangi bilangan tertentu, akan menghasilkan bilangan negatif dari bilangan tersebut.

$$-3x-y=-37$$

Agar dapat menyelesaikan dengan eliminasi, koefisien dari satu variabel harus sama dengan kedua persamaan sehingga variabel dapat disederhanakan saat satu persamaan dikurangi dengan persamaan lainnya.

$$x-y=3,-3x-y=-37$$

Kurangi -3x-y=-37 dari x-y=3 dengan mengurangi suku sejenis pada tiap sisi dari tanda sama dengan.

$$x+3x-y+y=3+37$$

Tambahkan -y sampai y. Suku -y dan y saling membatalkan, meninggalkan sebuah persamaan dengan hanya satu variabel yang dapat diselesaikan.

$$x+3x=3+37$$

Tambahkan x sampai 3x.

$$4x=3+37$$

Tambahkan 3 sampai 37.

$$4x=40$$

Bagi kedua sisi dengan 4.

$$x=10$$

Ganti 10 untuk x dalam -3x-y=-37. Karena hasil persamaan hanya berisi satu variabel, Anda dapat menyelesaikan y secara langsung.

$$-3\times 10-y=-37$$

Kalikan -3 kali 10.

$$-30-y=-37$$

Tambahkan 30 ke kedua sisi persamaan.

$$-y=-7$$

Bagi kedua sisi dengan -1.

$$y=7$$

Sistem kini terselesaikan.

$$x=10,y=7$$