Selesaikan {l}{x+y=90}{x+36=3y}

$$\left. \begin{array} { l } { x + y = 90 } \\ { x + 36 = 3 y } \end{array} \right.$$

Cari nilai x, y

$$x = \frac{117}{2} = 58\frac{1}{2} = 58.5$$

$$y = \frac{63}{2} = 31\frac{1}{2} = 31.5$$

Langkah-Langkah yang Menggunakan Substitusi

Sederhanakan persamaan kedua. Kurangi 3y dari kedua sisi.

$$x+36-3y=0$$

Kurangi 36 dari kedua sisi. Jika nol dikurangi bilangan tertentu, akan menghasilkan bilangan negatif dari bilangan tersebut.

$$x-3y=-36$$

Untuk menyelesaikan sepasang persamaan dengan substitusi, terlebih dahulu selesaikan satu persamaan untuk satu variabel. Lalu ganti hasil untuk variabel tersebut di persamaan yang lain.

$$x+y=90,x-3y=-36$$

Pilih salah satu persamaan dan temukan nilai x dengan memisahkan x di sisi kiri tanda sama dengan.

$$x+y=90$$

Kurangi y dari kedua sisi persamaan.

$$x=-y+90$$

Ganti -y+90 untuk x di persamaan lain, x-3y=-36.

$$-y+90-3y=-36$$

Tambahkan -y sampai -3y.

$$-4y+90=-36$$

Kurangi 90 dari kedua sisi persamaan.

$$-4y=-126$$

Bagi kedua sisi dengan -4.

$$y=\frac{63}{2}$$

Ganti \frac{63}{2} untuk y dalam x=-y+90. Karena hasil persamaan hanya berisi satu variabel, Anda dapat menyelesaikan x secara langsung.

$$x=-\frac{63}{2}+90$$

Tambahkan 90 sampai -\frac{63}{2}.

$$x=\frac{117}{2}$$

Sistem kini terselesaikan.

$$x=\frac{117}{2},y=\frac{63}{2}$$

Langkah Menggunakan Matriks

Sederhanakan persamaan kedua. Kurangi 3y dari kedua sisi.

$$x+36-3y=0$$

Kurangi 36 dari kedua sisi. Jika nol dikurangi bilangan tertentu, akan menghasilkan bilangan negatif dari bilangan tersebut.

$$x-3y=-36$$

Masukkan persamaan dalam bentuk standar lalu gunakan matriks untuk menyelesaikan sistem persamaannya.

$$x+y=90,x-3y=-36$$

Tulis persamaan dalam bentuk matriks.

$$\left(\begin{matrix}1&1\\1&-3\end{matrix}\right)\left(\begin{matrix}x\\y\end{matrix}\right)=\left(\begin{matrix}90\\-36\end{matrix}\right)$$

Kalikan persamaan sisi kiri dengan matriks terbalik \left(\begin{matrix}1&1\\1&-3\end{matrix}\right).

$$inverse(\left(\begin{matrix}1&1\\1&-3\end{matrix}\right))\left(\begin{matrix}1&1\\1&-3\end{matrix}\right)\left(\begin{matrix}x\\y\end{matrix}\right)=inverse(\left(\begin{matrix}1&1\\1&-3\end{matrix}\right))\left(\begin{matrix}90\\-36\end{matrix}\right)$$

Hasil kali matriks dan invers-nya adalah matriks identitas.

$$\left(\begin{matrix}1&0\\0&1\end{matrix}\right)\left(\begin{matrix}x\\y\end{matrix}\right)=inverse(\left(\begin{matrix}1&1\\1&-3\end{matrix}\right))\left(\begin{matrix}90\\-36\end{matrix}\right)$$

Kalikan matriks pada sisi kiri tanda sama dengan.

$$\left(\begin{matrix}x\\y\end{matrix}\right)=inverse(\left(\begin{matrix}1&1\\1&-3\end{matrix}\right))\left(\begin{matrix}90\\-36\end{matrix}\right)$$

Untuk matriks 2\times 2 \left(\begin{matrix}a&b\\c&d\end{matrix}\right), matriks kebalikannya adalah \left(\begin{matrix}\frac{d}{ad-bc}&\frac{-b}{ad-bc}\\\frac{-c}{ad-bc}&\frac{a}{ad-bc}\end{matrix}\right), sehingga persamaan matriks dapat ditulis ulang sebagai masalah perkalian matriks.

$$\left(\begin{matrix}x\\y\end{matrix}\right)=\left(\begin{matrix}-\frac{3}{-3-1}&-\frac{1}{-3-1}\\-\frac{1}{-3-1}&\frac{1}{-3-1}\end{matrix}\right)\left(\begin{matrix}90\\-36\end{matrix}\right)$$

Lakukan penghitungannya.

$$\left(\begin{matrix}x\\y\end{matrix}\right)=\left(\begin{matrix}\frac{3}{4}&\frac{1}{4}\\\frac{1}{4}&-\frac{1}{4}\end{matrix}\right)\left(\begin{matrix}90\\-36\end{matrix}\right)$$

Kalikan matriks.

$$\left(\begin{matrix}x\\y\end{matrix}\right)=\left(\begin{matrix}\frac{3}{4}\times 90+\frac{1}{4}\left(-36\right)\\\frac{1}{4}\times 90-\frac{1}{4}\left(-36\right)\end{matrix}\right)$$

Lakukan penghitungannya.

$$\left(\begin{matrix}x\\y\end{matrix}\right)=\left(\begin{matrix}\frac{117}{2}\\\frac{63}{2}\end{matrix}\right)$$

Ekstrak elemen matriks x dan y.

$$x=\frac{117}{2},y=\frac{63}{2}$$

Langkah Menggunakan Eliminasi

Sederhanakan persamaan kedua. Kurangi 3y dari kedua sisi.

$$x+36-3y=0$$

Kurangi 36 dari kedua sisi. Jika nol dikurangi bilangan tertentu, akan menghasilkan bilangan negatif dari bilangan tersebut.

$$x-3y=-36$$

Agar dapat menyelesaikan dengan eliminasi, koefisien dari satu variabel harus sama dengan kedua persamaan sehingga variabel dapat disederhanakan saat satu persamaan dikurangi dengan persamaan lainnya.

$$x+y=90,x-3y=-36$$

Kurangi x-3y=-36 dari x+y=90 dengan mengurangi suku sejenis pada tiap sisi dari tanda sama dengan.

$$x-x+y+3y=90+36$$

Tambahkan x sampai -x. Suku x dan -x saling membatalkan, meninggalkan sebuah persamaan dengan hanya satu variabel yang dapat diselesaikan.

$$y+3y=90+36$$

Tambahkan y sampai 3y.

$$4y=90+36$$

Tambahkan 90 sampai 36.

$$4y=126$$

Bagi kedua sisi dengan 4.

$$y=\frac{63}{2}$$

Ganti \frac{63}{2} untuk y dalam x-3y=-36. Karena hasil persamaan hanya berisi satu variabel, Anda dapat menyelesaikan x secara langsung.

$$x-3\times \frac{63}{2}=-36$$

Kalikan -3 kali \frac{63}{2}.

$$x-\frac{189}{2}=-36$$

Tambahkan \frac{189}{2} ke kedua sisi persamaan.

$$x=\frac{117}{2}$$

Sistem kini terselesaikan.

$$x=\frac{117}{2},y=\frac{63}{2}$$