Selesaikan {l}{x+y=1}{3x+y=5}

$$\left. \begin{array} { l } { x + y = 1 } \\ { 3 x + y = 5 } \end{array} \right.$$

Cari nilai x, y

$$x=2$$

$$y=-1$$

Langkah-Langkah yang Menggunakan Substitusi

Untuk menyelesaikan sepasang persamaan dengan substitusi, terlebih dahulu selesaikan satu persamaan untuk satu variabel. Lalu ganti hasil untuk variabel tersebut di persamaan yang lain.

$$x+y=1,3x+y=5$$

Pilih salah satu persamaan dan temukan nilai x dengan memisahkan x di sisi kiri tanda sama dengan.

$$x+y=1$$

Kurangi y dari kedua sisi persamaan.

$$x=-y+1$$

Ganti -y+1 untuk x di persamaan lain, 3x+y=5.

$$3\left(-y+1\right)+y=5$$

Kalikan 3 kali -y+1.

$$-3y+3+y=5$$

Tambahkan -3y sampai y.

$$-2y+3=5$$

Kurangi 3 dari kedua sisi persamaan.

$$-2y=2$$

Bagi kedua sisi dengan -2.

$$y=-1$$

Ganti -1 untuk y dalam x=-y+1. Karena hasil persamaan hanya berisi satu variabel, Anda dapat menyelesaikan x secara langsung.

$$x=-\left(-1\right)+1$$

Kalikan -1 kali -1.

$$x=1+1$$

Tambahkan 1 sampai 1.

$$x=2$$

Sistem kini terselesaikan.

$$x=2,y=-1$$

Langkah Menggunakan Matriks

Masukkan persamaan dalam bentuk standar lalu gunakan matriks untuk menyelesaikan sistem persamaannya.

$$x+y=1,3x+y=5$$

Tulis persamaan dalam bentuk matriks.

$$\left(\begin{matrix}1&1\\3&1\end{matrix}\right)\left(\begin{matrix}x\\y\end{matrix}\right)=\left(\begin{matrix}1\\5\end{matrix}\right)$$

Kalikan persamaan sisi kiri dengan matriks terbalik \left(\begin{matrix}1&1\\3&1\end{matrix}\right).

$$inverse(\left(\begin{matrix}1&1\\3&1\end{matrix}\right))\left(\begin{matrix}1&1\\3&1\end{matrix}\right)\left(\begin{matrix}x\\y\end{matrix}\right)=inverse(\left(\begin{matrix}1&1\\3&1\end{matrix}\right))\left(\begin{matrix}1\\5\end{matrix}\right)$$

Hasil kali matriks dan invers-nya adalah matriks identitas.

$$\left(\begin{matrix}1&0\\0&1\end{matrix}\right)\left(\begin{matrix}x\\y\end{matrix}\right)=inverse(\left(\begin{matrix}1&1\\3&1\end{matrix}\right))\left(\begin{matrix}1\\5\end{matrix}\right)$$

Kalikan matriks pada sisi kiri tanda sama dengan.

$$\left(\begin{matrix}x\\y\end{matrix}\right)=inverse(\left(\begin{matrix}1&1\\3&1\end{matrix}\right))\left(\begin{matrix}1\\5\end{matrix}\right)$$

Untuk matriks 2\times 2 \left(\begin{matrix}a&b\\c&d\end{matrix}\right), matriks kebalikannya adalah \left(\begin{matrix}\frac{d}{ad-bc}&\frac{-b}{ad-bc}\\\frac{-c}{ad-bc}&\frac{a}{ad-bc}\end{matrix}\right), sehingga persamaan matriks dapat ditulis ulang sebagai masalah perkalian matriks.

$$\left(\begin{matrix}x\\y\end{matrix}\right)=\left(\begin{matrix}\frac{1}{1-3}&-\frac{1}{1-3}\\-\frac{3}{1-3}&\frac{1}{1-3}\end{matrix}\right)\left(\begin{matrix}1\\5\end{matrix}\right)$$

Lakukan penghitungannya.

$$\left(\begin{matrix}x\\y\end{matrix}\right)=\left(\begin{matrix}-\frac{1}{2}&\frac{1}{2}\\\frac{3}{2}&-\frac{1}{2}\end{matrix}\right)\left(\begin{matrix}1\\5\end{matrix}\right)$$

Kalikan matriks.

$$\left(\begin{matrix}x\\y\end{matrix}\right)=\left(\begin{matrix}-\frac{1}{2}+\frac{1}{2}\times 5\\\frac{3}{2}-\frac{1}{2}\times 5\end{matrix}\right)$$

Lakukan penghitungannya.

$$\left(\begin{matrix}x\\y\end{matrix}\right)=\left(\begin{matrix}2\\-1\end{matrix}\right)$$

Ekstrak elemen matriks x dan y.

$$x=2,y=-1$$

Langkah Menggunakan Eliminasi

Agar dapat menyelesaikan dengan eliminasi, koefisien dari satu variabel harus sama dengan kedua persamaan sehingga variabel dapat disederhanakan saat satu persamaan dikurangi dengan persamaan lainnya.

$$x+y=1,3x+y=5$$

Kurangi 3x+y=5 dari x+y=1 dengan mengurangi suku sejenis pada tiap sisi dari tanda sama dengan.

$$x-3x+y-y=1-5$$

Tambahkan y sampai -y. Suku y dan -y saling membatalkan, meninggalkan sebuah persamaan dengan hanya satu variabel yang dapat diselesaikan.

$$x-3x=1-5$$

Tambahkan x sampai -3x.

$$-2x=1-5$$

Tambahkan 1 sampai -5.

$$-2x=-4$$

Bagi kedua sisi dengan -2.

$$x=2$$

Ganti 2 untuk x dalam 3x+y=5. Karena hasil persamaan hanya berisi satu variabel, Anda dapat menyelesaikan y secara langsung.

$$3\times 2+y=5$$

Kalikan 3 kali 2.

$$6+y=5$$

Kurangi 6 dari kedua sisi persamaan.

$$y=-1$$

Sistem kini terselesaikan.

$$x=2,y=-1$$