Selesaikan {l}{x+3y=7}{3x+y=17}

$$\left. \begin{array} { l } { x + 3 y = 7 } \\ { 3 x + y = 17 } \end{array} \right.$$

Cari nilai x, y

$$x = \frac{11}{2} = 5\frac{1}{2} = 5.5$$

$$y=\frac{1}{2}=0.5$$

Langkah-Langkah yang Menggunakan Substitusi

Untuk menyelesaikan sepasang persamaan dengan substitusi, terlebih dahulu selesaikan satu persamaan untuk satu variabel. Lalu ganti hasil untuk variabel tersebut di persamaan yang lain.

$$x+3y=7,3x+y=17$$

Pilih salah satu persamaan dan temukan nilai x dengan memisahkan x di sisi kiri tanda sama dengan.

$$x+3y=7$$

Kurangi 3y dari kedua sisi persamaan.

$$x=-3y+7$$

Ganti -3y+7 untuk x di persamaan lain, 3x+y=17.

$$3\left(-3y+7\right)+y=17$$

Kalikan 3 kali -3y+7.

$$-9y+21+y=17$$

Tambahkan -9y sampai y.

$$-8y+21=17$$

Kurangi 21 dari kedua sisi persamaan.

$$-8y=-4$$

Bagi kedua sisi dengan -8.

$$y=\frac{1}{2}$$

Ganti \frac{1}{2} untuk y dalam x=-3y+7. Karena hasil persamaan hanya berisi satu variabel, Anda dapat menyelesaikan x secara langsung.

$$x=-3\times \frac{1}{2}+7$$

Kalikan -3 kali \frac{1}{2}.

$$x=-\frac{3}{2}+7$$

Tambahkan 7 sampai -\frac{3}{2}.

$$x=\frac{11}{2}$$

Sistem kini terselesaikan.

$$x=\frac{11}{2},y=\frac{1}{2}$$

Langkah Menggunakan Matriks

Masukkan persamaan dalam bentuk standar lalu gunakan matriks untuk menyelesaikan sistem persamaannya.

$$x+3y=7,3x+y=17$$

Tulis persamaan dalam bentuk matriks.

$$\left(\begin{matrix}1&3\\3&1\end{matrix}\right)\left(\begin{matrix}x\\y\end{matrix}\right)=\left(\begin{matrix}7\\17\end{matrix}\right)$$

Kalikan persamaan sisi kiri dengan matriks terbalik \left(\begin{matrix}1&3\\3&1\end{matrix}\right).

$$inverse(\left(\begin{matrix}1&3\\3&1\end{matrix}\right))\left(\begin{matrix}1&3\\3&1\end{matrix}\right)\left(\begin{matrix}x\\y\end{matrix}\right)=inverse(\left(\begin{matrix}1&3\\3&1\end{matrix}\right))\left(\begin{matrix}7\\17\end{matrix}\right)$$

Hasil kali matriks dan invers-nya adalah matriks identitas.

$$\left(\begin{matrix}1&0\\0&1\end{matrix}\right)\left(\begin{matrix}x\\y\end{matrix}\right)=inverse(\left(\begin{matrix}1&3\\3&1\end{matrix}\right))\left(\begin{matrix}7\\17\end{matrix}\right)$$

Kalikan matriks pada sisi kiri tanda sama dengan.

$$\left(\begin{matrix}x\\y\end{matrix}\right)=inverse(\left(\begin{matrix}1&3\\3&1\end{matrix}\right))\left(\begin{matrix}7\\17\end{matrix}\right)$$

Untuk matriks 2\times 2 \left(\begin{matrix}a&b\\c&d\end{matrix}\right), matriks kebalikannya adalah \left(\begin{matrix}\frac{d}{ad-bc}&\frac{-b}{ad-bc}\\\frac{-c}{ad-bc}&\frac{a}{ad-bc}\end{matrix}\right), sehingga persamaan matriks dapat ditulis ulang sebagai masalah perkalian matriks.

$$\left(\begin{matrix}x\\y\end{matrix}\right)=\left(\begin{matrix}\frac{1}{1-3\times 3}&-\frac{3}{1-3\times 3}\\-\frac{3}{1-3\times 3}&\frac{1}{1-3\times 3}\end{matrix}\right)\left(\begin{matrix}7\\17\end{matrix}\right)$$

Lakukan penghitungannya.

$$\left(\begin{matrix}x\\y\end{matrix}\right)=\left(\begin{matrix}-\frac{1}{8}&\frac{3}{8}\\\frac{3}{8}&-\frac{1}{8}\end{matrix}\right)\left(\begin{matrix}7\\17\end{matrix}\right)$$

Kalikan matriks.

$$\left(\begin{matrix}x\\y\end{matrix}\right)=\left(\begin{matrix}-\frac{1}{8}\times 7+\frac{3}{8}\times 17\\\frac{3}{8}\times 7-\frac{1}{8}\times 17\end{matrix}\right)$$

Lakukan penghitungannya.

$$\left(\begin{matrix}x\\y\end{matrix}\right)=\left(\begin{matrix}\frac{11}{2}\\\frac{1}{2}\end{matrix}\right)$$

Ekstrak elemen matriks x dan y.

$$x=\frac{11}{2},y=\frac{1}{2}$$

Langkah Menggunakan Eliminasi

Agar dapat menyelesaikan dengan eliminasi, koefisien dari satu variabel harus sama dengan kedua persamaan sehingga variabel dapat disederhanakan saat satu persamaan dikurangi dengan persamaan lainnya.

$$x+3y=7,3x+y=17$$

Untuk menjadikan x dan 3x yang sama, kalikan semua suku pada tiap sisi dari persamaan pertama dengan 3 dan semua suku pada tiap sisi yang kedua dengan 1.

$$3x+3\times 3y=3\times 7,3x+y=17$$

Sederhanakan.

$$3x+9y=21,3x+y=17$$

Kurangi 3x+y=17 dari 3x+9y=21 dengan mengurangi suku sejenis pada tiap sisi dari tanda sama dengan.

$$3x-3x+9y-y=21-17$$

Tambahkan 3x sampai -3x. Suku 3x dan -3x saling membatalkan, meninggalkan sebuah persamaan dengan hanya satu variabel yang dapat diselesaikan.

$$9y-y=21-17$$

Tambahkan 9y sampai -y.

$$8y=21-17$$

Tambahkan 21 sampai -17.

$$8y=4$$

Bagi kedua sisi dengan 8.

$$y=\frac{1}{2}$$

Ganti \frac{1}{2} untuk y dalam 3x+y=17. Karena hasil persamaan hanya berisi satu variabel, Anda dapat menyelesaikan x secara langsung.

$$3x+\frac{1}{2}=17$$

Kurangi \frac{1}{2} dari kedua sisi persamaan.

$$3x=\frac{33}{2}$$

Bagi kedua sisi dengan 3.

$$x=\frac{11}{2}$$

Sistem kini terselesaikan.

$$x=\frac{11}{2},y=\frac{1}{2}$$