Selesaikan {l}{8+4x=2y}{-4x=14-3y}

$$\left. \begin{array} { l } { 8 + 4 x = 2 y } \\ { - 4 x = 14 - 3 y } \end{array} \right.$$

Cari nilai x, y

$$x=1$$

$$y=6$$

Langkah-Langkah yang Menggunakan Substitusi

Sederhanakan persamaan pertama. Kurangi 2y dari kedua sisi.

$$8+4x-2y=0$$

Kurangi 8 dari kedua sisi. Jika nol dikurangi bilangan tertentu, akan menghasilkan bilangan negatif dari bilangan tersebut.

$$4x-2y=-8$$

Sederhanakan persamaan kedua. Tambahkan 3y ke kedua sisi.

$$-4x+3y=14$$

Untuk menyelesaikan sepasang persamaan dengan substitusi, terlebih dahulu selesaikan satu persamaan untuk satu variabel. Lalu ganti hasil untuk variabel tersebut di persamaan yang lain.

$$4x-2y=-8,-4x+3y=14$$

Pilih salah satu persamaan dan temukan nilai x dengan memisahkan x di sisi kiri tanda sama dengan.

$$4x-2y=-8$$

Tambahkan 2y ke kedua sisi persamaan.

$$4x=2y-8$$

Bagi kedua sisi dengan 4.

$$x=\frac{1}{4}\left(2y-8\right)$$

Kalikan \frac{1}{4} kali -8+2y.

$$x=\frac{1}{2}y-2$$

Ganti \frac{y}{2}-2 untuk x di persamaan lain, -4x+3y=14.

$$-4\left(\frac{1}{2}y-2\right)+3y=14$$

Kalikan -4 kali \frac{y}{2}-2.

$$-2y+8+3y=14$$

Tambahkan -2y sampai 3y.

$$y+8=14$$

Kurangi 8 dari kedua sisi persamaan.

$$y=6$$

Ganti 6 untuk y dalam x=\frac{1}{2}y-2. Karena hasil persamaan hanya berisi satu variabel, Anda dapat menyelesaikan x secara langsung.

$$x=\frac{1}{2}\times 6-2$$

Kalikan \frac{1}{2} kali 6.

$$x=3-2$$

Tambahkan -2 sampai 3.

$$x=1$$

Sistem kini terselesaikan.

$$x=1,y=6$$

Langkah Menggunakan Matriks

Sederhanakan persamaan pertama. Kurangi 2y dari kedua sisi.

$$8+4x-2y=0$$

Kurangi 8 dari kedua sisi. Jika nol dikurangi bilangan tertentu, akan menghasilkan bilangan negatif dari bilangan tersebut.

$$4x-2y=-8$$

Sederhanakan persamaan kedua. Tambahkan 3y ke kedua sisi.

$$-4x+3y=14$$

Masukkan persamaan dalam bentuk standar lalu gunakan matriks untuk menyelesaikan sistem persamaannya.

$$4x-2y=-8,-4x+3y=14$$

Tulis persamaan dalam bentuk matriks.

$$\left(\begin{matrix}4&-2\\-4&3\end{matrix}\right)\left(\begin{matrix}x\\y\end{matrix}\right)=\left(\begin{matrix}-8\\14\end{matrix}\right)$$

Kalikan persamaan sisi kiri dengan matriks terbalik \left(\begin{matrix}4&-2\\-4&3\end{matrix}\right).

$$inverse(\left(\begin{matrix}4&-2\\-4&3\end{matrix}\right))\left(\begin{matrix}4&-2\\-4&3\end{matrix}\right)\left(\begin{matrix}x\\y\end{matrix}\right)=inverse(\left(\begin{matrix}4&-2\\-4&3\end{matrix}\right))\left(\begin{matrix}-8\\14\end{matrix}\right)$$

Hasil kali matriks dan invers-nya adalah matriks identitas.

$$\left(\begin{matrix}1&0\\0&1\end{matrix}\right)\left(\begin{matrix}x\\y\end{matrix}\right)=inverse(\left(\begin{matrix}4&-2\\-4&3\end{matrix}\right))\left(\begin{matrix}-8\\14\end{matrix}\right)$$

Kalikan matriks pada sisi kiri tanda sama dengan.

$$\left(\begin{matrix}x\\y\end{matrix}\right)=inverse(\left(\begin{matrix}4&-2\\-4&3\end{matrix}\right))\left(\begin{matrix}-8\\14\end{matrix}\right)$$

Untuk matriks 2\times 2 \left(\begin{matrix}a&b\\c&d\end{matrix}\right), matriks kebalikannya adalah \left(\begin{matrix}\frac{d}{ad-bc}&\frac{-b}{ad-bc}\\\frac{-c}{ad-bc}&\frac{a}{ad-bc}\end{matrix}\right), sehingga persamaan matriks dapat ditulis ulang sebagai masalah perkalian matriks.

$$\left(\begin{matrix}x\\y\end{matrix}\right)=\left(\begin{matrix}\frac{3}{4\times 3-\left(-2\left(-4\right)\right)}&-\frac{-2}{4\times 3-\left(-2\left(-4\right)\right)}\\-\frac{-4}{4\times 3-\left(-2\left(-4\right)\right)}&\frac{4}{4\times 3-\left(-2\left(-4\right)\right)}\end{matrix}\right)\left(\begin{matrix}-8\\14\end{matrix}\right)$$

Lakukan penghitungannya.

$$\left(\begin{matrix}x\\y\end{matrix}\right)=\left(\begin{matrix}\frac{3}{4}&\frac{1}{2}\\1&1\end{matrix}\right)\left(\begin{matrix}-8\\14\end{matrix}\right)$$

Kalikan matriks.

$$\left(\begin{matrix}x\\y\end{matrix}\right)=\left(\begin{matrix}\frac{3}{4}\left(-8\right)+\frac{1}{2}\times 14\\-8+14\end{matrix}\right)$$

Lakukan penghitungannya.

$$\left(\begin{matrix}x\\y\end{matrix}\right)=\left(\begin{matrix}1\\6\end{matrix}\right)$$

Ekstrak elemen matriks x dan y.

$$x=1,y=6$$

Langkah Menggunakan Eliminasi

Sederhanakan persamaan pertama. Kurangi 2y dari kedua sisi.

$$8+4x-2y=0$$

Kurangi 8 dari kedua sisi. Jika nol dikurangi bilangan tertentu, akan menghasilkan bilangan negatif dari bilangan tersebut.

$$4x-2y=-8$$

Sederhanakan persamaan kedua. Tambahkan 3y ke kedua sisi.

$$-4x+3y=14$$

Agar dapat menyelesaikan dengan eliminasi, koefisien dari satu variabel harus sama dengan kedua persamaan sehingga variabel dapat disederhanakan saat satu persamaan dikurangi dengan persamaan lainnya.

$$4x-2y=-8,-4x+3y=14$$

Untuk menjadikan 4x dan -4x yang sama, kalikan semua suku pada tiap sisi dari persamaan pertama dengan -4 dan semua suku pada tiap sisi yang kedua dengan 4.

$$-4\times 4x-4\left(-2\right)y=-4\left(-8\right),4\left(-4\right)x+4\times 3y=4\times 14$$

Sederhanakan.

$$-16x+8y=32,-16x+12y=56$$

Kurangi -16x+12y=56 dari -16x+8y=32 dengan mengurangi suku sejenis pada tiap sisi dari tanda sama dengan.

$$-16x+16x+8y-12y=32-56$$

Tambahkan -16x sampai 16x. Suku -16x dan 16x saling membatalkan, meninggalkan sebuah persamaan dengan hanya satu variabel yang dapat diselesaikan.

$$8y-12y=32-56$$

Tambahkan 8y sampai -12y.

$$-4y=32-56$$

Tambahkan 32 sampai -56.

$$-4y=-24$$

Bagi kedua sisi dengan -4.

$$y=6$$

Ganti 6 untuk y dalam -4x+3y=14. Karena hasil persamaan hanya berisi satu variabel, Anda dapat menyelesaikan x secara langsung.

$$-4x+3\times 6=14$$

Kalikan 3 kali 6.

$$-4x+18=14$$

Kurangi 18 dari kedua sisi persamaan.

$$-4x=-4$$

Bagi kedua sisi dengan -4.

$$x=1$$

Sistem kini terselesaikan.

$$x=1,y=6$$