Selesaikan {l}{5x+y=9}{10x-7y=-18}

$$\left. \begin{array} { l } { 5 x + y = 9 } \\ { 10 x - 7 y = - 18 } \end{array} \right.$$

Cari nilai x, y

$$x=1$$

$$y=4$$

Langkah-Langkah yang Menggunakan Substitusi

Untuk menyelesaikan sepasang persamaan dengan substitusi, terlebih dahulu selesaikan satu persamaan untuk satu variabel. Lalu ganti hasil untuk variabel tersebut di persamaan yang lain.

$$5x+y=9,10x-7y=-18$$

Pilih salah satu persamaan dan temukan nilai x dengan memisahkan x di sisi kiri tanda sama dengan.

$$5x+y=9$$

Kurangi y dari kedua sisi persamaan.

$$5x=-y+9$$

Bagi kedua sisi dengan 5.

$$x=\frac{1}{5}\left(-y+9\right)$$

Kalikan \frac{1}{5} kali -y+9.

$$x=-\frac{1}{5}y+\frac{9}{5}$$

Ganti \frac{-y+9}{5} untuk x di persamaan lain, 10x-7y=-18.

$$10\left(-\frac{1}{5}y+\frac{9}{5}\right)-7y=-18$$

Kalikan 10 kali \frac{-y+9}{5}.

$$-2y+18-7y=-18$$

Tambahkan -2y sampai -7y.

$$-9y+18=-18$$

Kurangi 18 dari kedua sisi persamaan.

$$-9y=-36$$

Bagi kedua sisi dengan -9.

$$y=4$$

Ganti 4 untuk y dalam x=-\frac{1}{5}y+\frac{9}{5}. Karena hasil persamaan hanya berisi satu variabel, Anda dapat menyelesaikan x secara langsung.

$$x=-\frac{1}{5}\times 4+\frac{9}{5}$$

Kalikan -\frac{1}{5} kali 4.

$$x=\frac{-4+9}{5}$$

Tambahkan \frac{9}{5} ke -\frac{4}{5} dengan mencari faktor persekutuan dan menambahkan pembilang. Lalu kurangi pecahan ke suku terkecil jika memungkinkan.

$$x=1$$

Sistem kini terselesaikan.

$$x=1,y=4$$

Langkah Menggunakan Matriks

Masukkan persamaan dalam bentuk standar lalu gunakan matriks untuk menyelesaikan sistem persamaannya.

$$5x+y=9,10x-7y=-18$$

Tulis persamaan dalam bentuk matriks.

$$\left(\begin{matrix}5&1\\10&-7\end{matrix}\right)\left(\begin{matrix}x\\y\end{matrix}\right)=\left(\begin{matrix}9\\-18\end{matrix}\right)$$

Kalikan persamaan sisi kiri dengan matriks terbalik \left(\begin{matrix}5&1\\10&-7\end{matrix}\right).

$$inverse(\left(\begin{matrix}5&1\\10&-7\end{matrix}\right))\left(\begin{matrix}5&1\\10&-7\end{matrix}\right)\left(\begin{matrix}x\\y\end{matrix}\right)=inverse(\left(\begin{matrix}5&1\\10&-7\end{matrix}\right))\left(\begin{matrix}9\\-18\end{matrix}\right)$$

Hasil kali matriks dan invers-nya adalah matriks identitas.

$$\left(\begin{matrix}1&0\\0&1\end{matrix}\right)\left(\begin{matrix}x\\y\end{matrix}\right)=inverse(\left(\begin{matrix}5&1\\10&-7\end{matrix}\right))\left(\begin{matrix}9\\-18\end{matrix}\right)$$

Kalikan matriks pada sisi kiri tanda sama dengan.

$$\left(\begin{matrix}x\\y\end{matrix}\right)=inverse(\left(\begin{matrix}5&1\\10&-7\end{matrix}\right))\left(\begin{matrix}9\\-18\end{matrix}\right)$$

Untuk matriks 2\times 2 \left(\begin{matrix}a&b\\c&d\end{matrix}\right), matriks kebalikannya adalah \left(\begin{matrix}\frac{d}{ad-bc}&\frac{-b}{ad-bc}\\\frac{-c}{ad-bc}&\frac{a}{ad-bc}\end{matrix}\right), sehingga persamaan matriks dapat ditulis ulang sebagai masalah perkalian matriks.

$$\left(\begin{matrix}x\\y\end{matrix}\right)=\left(\begin{matrix}-\frac{7}{5\left(-7\right)-10}&-\frac{1}{5\left(-7\right)-10}\\-\frac{10}{5\left(-7\right)-10}&\frac{5}{5\left(-7\right)-10}\end{matrix}\right)\left(\begin{matrix}9\\-18\end{matrix}\right)$$

Lakukan penghitungannya.

$$\left(\begin{matrix}x\\y\end{matrix}\right)=\left(\begin{matrix}\frac{7}{45}&\frac{1}{45}\\\frac{2}{9}&-\frac{1}{9}\end{matrix}\right)\left(\begin{matrix}9\\-18\end{matrix}\right)$$

Kalikan matriks.

$$\left(\begin{matrix}x\\y\end{matrix}\right)=\left(\begin{matrix}\frac{7}{45}\times 9+\frac{1}{45}\left(-18\right)\\\frac{2}{9}\times 9-\frac{1}{9}\left(-18\right)\end{matrix}\right)$$

Lakukan penghitungannya.

$$\left(\begin{matrix}x\\y\end{matrix}\right)=\left(\begin{matrix}1\\4\end{matrix}\right)$$

Ekstrak elemen matriks x dan y.

$$x=1,y=4$$

Langkah Menggunakan Eliminasi

Agar dapat menyelesaikan dengan eliminasi, koefisien dari satu variabel harus sama dengan kedua persamaan sehingga variabel dapat disederhanakan saat satu persamaan dikurangi dengan persamaan lainnya.

$$5x+y=9,10x-7y=-18$$

Untuk menjadikan 5x dan 10x yang sama, kalikan semua suku pada tiap sisi dari persamaan pertama dengan 10 dan semua suku pada tiap sisi yang kedua dengan 5.

$$10\times 5x+10y=10\times 9,5\times 10x+5\left(-7\right)y=5\left(-18\right)$$

Sederhanakan.

$$50x+10y=90,50x-35y=-90$$

Kurangi 50x-35y=-90 dari 50x+10y=90 dengan mengurangi suku sejenis pada tiap sisi dari tanda sama dengan.

$$50x-50x+10y+35y=90+90$$

Tambahkan 50x sampai -50x. Suku 50x dan -50x saling membatalkan, meninggalkan sebuah persamaan dengan hanya satu variabel yang dapat diselesaikan.

$$10y+35y=90+90$$

Tambahkan 10y sampai 35y.

$$45y=90+90$$

Tambahkan 90 sampai 90.

$$45y=180$$

Bagi kedua sisi dengan 45.

$$y=4$$

Ganti 4 untuk y dalam 10x-7y=-18. Karena hasil persamaan hanya berisi satu variabel, Anda dapat menyelesaikan x secara langsung.

$$10x-7\times 4=-18$$

Kalikan -7 kali 4.

$$10x-28=-18$$

Tambahkan 28 ke kedua sisi persamaan.

$$10x=10$$

Bagi kedua sisi dengan 10.

$$x=1$$

Sistem kini terselesaikan.

$$x=1,y=4$$