Selesaikan {l}{4x+y=8}{x-y=2}

$$\left. \begin{array} { l } { 4 x + y = 8 } \\ { x - y = 2 } \end{array} \right.$$

Cari nilai x, y

$$x=2$$

$$y=0$$

Langkah-Langkah yang Menggunakan Substitusi

Untuk menyelesaikan sepasang persamaan dengan substitusi, terlebih dahulu selesaikan satu persamaan untuk satu variabel. Lalu ganti hasil untuk variabel tersebut di persamaan yang lain.

$$4x+y=8,x-y=2$$

Pilih salah satu persamaan dan temukan nilai x dengan memisahkan x di sisi kiri tanda sama dengan.

$$4x+y=8$$

Kurangi y dari kedua sisi persamaan.

$$4x=-y+8$$

Bagi kedua sisi dengan 4.

$$x=\frac{1}{4}\left(-y+8\right)$$

Kalikan \frac{1}{4} kali -y+8.

$$x=-\frac{1}{4}y+2$$

Ganti -\frac{y}{4}+2 untuk x di persamaan lain, x-y=2.

$$-\frac{1}{4}y+2-y=2$$

Tambahkan -\frac{y}{4} sampai -y.

$$-\frac{5}{4}y+2=2$$

Kurangi 2 dari kedua sisi persamaan.

$$-\frac{5}{4}y=0$$

Bagi kedua sisi persamaan dengan -\frac{5}{4}, yang sama dengan mengalikan kedua sisi dengan resiprokal dari pecahan.

$$y=0$$

Ganti 0 untuk y dalam x=-\frac{1}{4}y+2. Karena hasil persamaan hanya berisi satu variabel, Anda dapat menyelesaikan x secara langsung.

$$x=2$$

Sistem kini terselesaikan.

$$x=2,y=0$$

Langkah Menggunakan Matriks

Masukkan persamaan dalam bentuk standar lalu gunakan matriks untuk menyelesaikan sistem persamaannya.

$$4x+y=8,x-y=2$$

Tulis persamaan dalam bentuk matriks.

$$\left(\begin{matrix}4&1\\1&-1\end{matrix}\right)\left(\begin{matrix}x\\y\end{matrix}\right)=\left(\begin{matrix}8\\2\end{matrix}\right)$$

Kalikan persamaan sisi kiri dengan matriks terbalik \left(\begin{matrix}4&1\\1&-1\end{matrix}\right).

$$inverse(\left(\begin{matrix}4&1\\1&-1\end{matrix}\right))\left(\begin{matrix}4&1\\1&-1\end{matrix}\right)\left(\begin{matrix}x\\y\end{matrix}\right)=inverse(\left(\begin{matrix}4&1\\1&-1\end{matrix}\right))\left(\begin{matrix}8\\2\end{matrix}\right)$$

Hasil kali matriks dan invers-nya adalah matriks identitas.

$$\left(\begin{matrix}1&0\\0&1\end{matrix}\right)\left(\begin{matrix}x\\y\end{matrix}\right)=inverse(\left(\begin{matrix}4&1\\1&-1\end{matrix}\right))\left(\begin{matrix}8\\2\end{matrix}\right)$$

Kalikan matriks pada sisi kiri tanda sama dengan.

$$\left(\begin{matrix}x\\y\end{matrix}\right)=inverse(\left(\begin{matrix}4&1\\1&-1\end{matrix}\right))\left(\begin{matrix}8\\2\end{matrix}\right)$$

Untuk matriks 2\times 2 \left(\begin{matrix}a&b\\c&d\end{matrix}\right), matriks kebalikannya adalah \left(\begin{matrix}\frac{d}{ad-bc}&\frac{-b}{ad-bc}\\\frac{-c}{ad-bc}&\frac{a}{ad-bc}\end{matrix}\right), sehingga persamaan matriks dapat ditulis ulang sebagai masalah perkalian matriks.

$$\left(\begin{matrix}x\\y\end{matrix}\right)=\left(\begin{matrix}-\frac{1}{4\left(-1\right)-1}&-\frac{1}{4\left(-1\right)-1}\\-\frac{1}{4\left(-1\right)-1}&\frac{4}{4\left(-1\right)-1}\end{matrix}\right)\left(\begin{matrix}8\\2\end{matrix}\right)$$

Lakukan penghitungannya.

$$\left(\begin{matrix}x\\y\end{matrix}\right)=\left(\begin{matrix}\frac{1}{5}&\frac{1}{5}\\\frac{1}{5}&-\frac{4}{5}\end{matrix}\right)\left(\begin{matrix}8\\2\end{matrix}\right)$$

Kalikan matriks.

$$\left(\begin{matrix}x\\y\end{matrix}\right)=\left(\begin{matrix}\frac{1}{5}\times 8+\frac{1}{5}\times 2\\\frac{1}{5}\times 8-\frac{4}{5}\times 2\end{matrix}\right)$$

Lakukan penghitungannya.

$$\left(\begin{matrix}x\\y\end{matrix}\right)=\left(\begin{matrix}2\\0\end{matrix}\right)$$

Ekstrak elemen matriks x dan y.

$$x=2,y=0$$

Langkah Menggunakan Eliminasi

Agar dapat menyelesaikan dengan eliminasi, koefisien dari satu variabel harus sama dengan kedua persamaan sehingga variabel dapat disederhanakan saat satu persamaan dikurangi dengan persamaan lainnya.

$$4x+y=8,x-y=2$$

Untuk menjadikan 4x dan x yang sama, kalikan semua suku pada tiap sisi dari persamaan pertama dengan 1 dan semua suku pada tiap sisi yang kedua dengan 4.

$$4x+y=8,4x+4\left(-1\right)y=4\times 2$$

Sederhanakan.

$$4x+y=8,4x-4y=8$$

Kurangi 4x-4y=8 dari 4x+y=8 dengan mengurangi suku sejenis pada tiap sisi dari tanda sama dengan.

$$4x-4x+y+4y=8-8$$

Tambahkan 4x sampai -4x. Suku 4x dan -4x saling membatalkan, meninggalkan sebuah persamaan dengan hanya satu variabel yang dapat diselesaikan.

$$y+4y=8-8$$

Tambahkan y sampai 4y.

$$5y=8-8$$

Tambahkan 8 sampai -8.

$$5y=0$$

Bagi kedua sisi dengan 5.

$$y=0$$

Ganti 0 untuk y dalam x-y=2. Karena hasil persamaan hanya berisi satu variabel, Anda dapat menyelesaikan x secara langsung.

$$x=2$$

Sistem kini terselesaikan.

$$x=2,y=0$$