Selesaikan {l}{4x+y=7}{3x+2y=9}

$$\left. \begin{array} { l } { 4 x + y = 7 } \\ { 3 x + 2 y = 9 } \end{array} \right.$$

Cari nilai x, y

$$x=1$$

$$y=3$$

Langkah-Langkah yang Menggunakan Substitusi

Untuk menyelesaikan sepasang persamaan dengan substitusi, terlebih dahulu selesaikan satu persamaan untuk satu variabel. Lalu ganti hasil untuk variabel tersebut di persamaan yang lain.

$$4x+y=7,3x+2y=9$$

Pilih salah satu persamaan dan temukan nilai x dengan memisahkan x di sisi kiri tanda sama dengan.

$$4x+y=7$$

Kurangi y dari kedua sisi persamaan.

$$4x=-y+7$$

Bagi kedua sisi dengan 4.

$$x=\frac{1}{4}\left(-y+7\right)$$

Kalikan \frac{1}{4} kali -y+7.

$$x=-\frac{1}{4}y+\frac{7}{4}$$

Ganti \frac{-y+7}{4} untuk x di persamaan lain, 3x+2y=9.

$$3\left(-\frac{1}{4}y+\frac{7}{4}\right)+2y=9$$

Kalikan 3 kali \frac{-y+7}{4}.

$$-\frac{3}{4}y+\frac{21}{4}+2y=9$$

Tambahkan -\frac{3y}{4} sampai 2y.

$$\frac{5}{4}y+\frac{21}{4}=9$$

Kurangi \frac{21}{4} dari kedua sisi persamaan.

$$\frac{5}{4}y=\frac{15}{4}$$

Bagi kedua sisi persamaan dengan \frac{5}{4}, yang sama dengan mengalikan kedua sisi dengan resiprokal dari pecahan.

$$y=3$$

Ganti 3 untuk y dalam x=-\frac{1}{4}y+\frac{7}{4}. Karena hasil persamaan hanya berisi satu variabel, Anda dapat menyelesaikan x secara langsung.

$$x=-\frac{1}{4}\times 3+\frac{7}{4}$$

Kalikan -\frac{1}{4} kali 3.

$$x=\frac{-3+7}{4}$$

Tambahkan \frac{7}{4} ke -\frac{3}{4} dengan mencari faktor persekutuan dan menambahkan pembilang. Lalu kurangi pecahan ke suku terkecil jika memungkinkan.

$$x=1$$

Sistem kini terselesaikan.

$$x=1,y=3$$

Langkah Menggunakan Matriks

Masukkan persamaan dalam bentuk standar lalu gunakan matriks untuk menyelesaikan sistem persamaannya.

$$4x+y=7,3x+2y=9$$

Tulis persamaan dalam bentuk matriks.

$$\left(\begin{matrix}4&1\\3&2\end{matrix}\right)\left(\begin{matrix}x\\y\end{matrix}\right)=\left(\begin{matrix}7\\9\end{matrix}\right)$$

Kalikan persamaan sisi kiri dengan matriks terbalik \left(\begin{matrix}4&1\\3&2\end{matrix}\right).

$$inverse(\left(\begin{matrix}4&1\\3&2\end{matrix}\right))\left(\begin{matrix}4&1\\3&2\end{matrix}\right)\left(\begin{matrix}x\\y\end{matrix}\right)=inverse(\left(\begin{matrix}4&1\\3&2\end{matrix}\right))\left(\begin{matrix}7\\9\end{matrix}\right)$$

Hasil kali matriks dan invers-nya adalah matriks identitas.

$$\left(\begin{matrix}1&0\\0&1\end{matrix}\right)\left(\begin{matrix}x\\y\end{matrix}\right)=inverse(\left(\begin{matrix}4&1\\3&2\end{matrix}\right))\left(\begin{matrix}7\\9\end{matrix}\right)$$

Kalikan matriks pada sisi kiri tanda sama dengan.

$$\left(\begin{matrix}x\\y\end{matrix}\right)=inverse(\left(\begin{matrix}4&1\\3&2\end{matrix}\right))\left(\begin{matrix}7\\9\end{matrix}\right)$$

Untuk matriks 2\times 2 \left(\begin{matrix}a&b\\c&d\end{matrix}\right), matriks kebalikannya adalah \left(\begin{matrix}\frac{d}{ad-bc}&\frac{-b}{ad-bc}\\\frac{-c}{ad-bc}&\frac{a}{ad-bc}\end{matrix}\right), sehingga persamaan matriks dapat ditulis ulang sebagai masalah perkalian matriks.

$$\left(\begin{matrix}x\\y\end{matrix}\right)=\left(\begin{matrix}\frac{2}{4\times 2-3}&-\frac{1}{4\times 2-3}\\-\frac{3}{4\times 2-3}&\frac{4}{4\times 2-3}\end{matrix}\right)\left(\begin{matrix}7\\9\end{matrix}\right)$$

Lakukan penghitungannya.

$$\left(\begin{matrix}x\\y\end{matrix}\right)=\left(\begin{matrix}\frac{2}{5}&-\frac{1}{5}\\-\frac{3}{5}&\frac{4}{5}\end{matrix}\right)\left(\begin{matrix}7\\9\end{matrix}\right)$$

Kalikan matriks.

$$\left(\begin{matrix}x\\y\end{matrix}\right)=\left(\begin{matrix}\frac{2}{5}\times 7-\frac{1}{5}\times 9\\-\frac{3}{5}\times 7+\frac{4}{5}\times 9\end{matrix}\right)$$

Lakukan penghitungannya.

$$\left(\begin{matrix}x\\y\end{matrix}\right)=\left(\begin{matrix}1\\3\end{matrix}\right)$$

Ekstrak elemen matriks x dan y.

$$x=1,y=3$$

Langkah Menggunakan Eliminasi

Agar dapat menyelesaikan dengan eliminasi, koefisien dari satu variabel harus sama dengan kedua persamaan sehingga variabel dapat disederhanakan saat satu persamaan dikurangi dengan persamaan lainnya.

$$4x+y=7,3x+2y=9$$

Untuk menjadikan 4x dan 3x yang sama, kalikan semua suku pada tiap sisi dari persamaan pertama dengan 3 dan semua suku pada tiap sisi yang kedua dengan 4.

$$3\times 4x+3y=3\times 7,4\times 3x+4\times 2y=4\times 9$$

Sederhanakan.

$$12x+3y=21,12x+8y=36$$

Kurangi 12x+8y=36 dari 12x+3y=21 dengan mengurangi suku sejenis pada tiap sisi dari tanda sama dengan.

$$12x-12x+3y-8y=21-36$$

Tambahkan 12x sampai -12x. Suku 12x dan -12x saling membatalkan, meninggalkan sebuah persamaan dengan hanya satu variabel yang dapat diselesaikan.

$$3y-8y=21-36$$

Tambahkan 3y sampai -8y.

$$-5y=21-36$$

Tambahkan 21 sampai -36.

$$-5y=-15$$

Bagi kedua sisi dengan -5.

$$y=3$$

Ganti 3 untuk y dalam 3x+2y=9. Karena hasil persamaan hanya berisi satu variabel, Anda dapat menyelesaikan x secara langsung.

$$3x+2\times 3=9$$

Kalikan 2 kali 3.

$$3x+6=9$$

Kurangi 6 dari kedua sisi persamaan.

$$3x=3$$

Bagi kedua sisi dengan 3.

$$x=1$$

Sistem kini terselesaikan.

$$x=1,y=3$$