Selesaikan {l}{4x+2y=2}{x+y=4}

$$\left. \begin{array} { l } { 4 x + 2 y = 2 } \\ { x + y = 4 } \end{array} \right.$$

Cari nilai x, y

$$x=-3$$

$$y=7$$

Langkah-Langkah yang Menggunakan Substitusi

Untuk menyelesaikan sepasang persamaan dengan substitusi, terlebih dahulu selesaikan satu persamaan untuk satu variabel. Lalu ganti hasil untuk variabel tersebut di persamaan yang lain.

$$4x+2y=2,x+y=4$$

Pilih salah satu persamaan dan temukan nilai x dengan memisahkan x di sisi kiri tanda sama dengan.

$$4x+2y=2$$

Kurangi 2y dari kedua sisi persamaan.

$$4x=-2y+2$$

Bagi kedua sisi dengan 4.

$$x=\frac{1}{4}\left(-2y+2\right)$$

Kalikan \frac{1}{4} kali -2y+2.

$$x=-\frac{1}{2}y+\frac{1}{2}$$

Ganti \frac{-y+1}{2} untuk x di persamaan lain, x+y=4.

$$-\frac{1}{2}y+\frac{1}{2}+y=4$$

Tambahkan -\frac{y}{2} sampai y.

$$\frac{1}{2}y+\frac{1}{2}=4$$

Kurangi \frac{1}{2} dari kedua sisi persamaan.

$$\frac{1}{2}y=\frac{7}{2}$$

Kalikan kedua sisi dengan 2.

$$y=7$$

Ganti 7 untuk y dalam x=-\frac{1}{2}y+\frac{1}{2}. Karena hasil persamaan hanya berisi satu variabel, Anda dapat menyelesaikan x secara langsung.

$$x=-\frac{1}{2}\times 7+\frac{1}{2}$$

Kalikan -\frac{1}{2} kali 7.

$$x=\frac{-7+1}{2}$$

Tambahkan \frac{1}{2} ke -\frac{7}{2} dengan mencari faktor persekutuan dan menambahkan pembilang. Lalu kurangi pecahan ke suku terkecil jika memungkinkan.

$$x=-3$$

Sistem kini terselesaikan.

$$x=-3,y=7$$

Langkah Menggunakan Matriks

Masukkan persamaan dalam bentuk standar lalu gunakan matriks untuk menyelesaikan sistem persamaannya.

$$4x+2y=2,x+y=4$$

Tulis persamaan dalam bentuk matriks.

$$\left(\begin{matrix}4&2\\1&1\end{matrix}\right)\left(\begin{matrix}x\\y\end{matrix}\right)=\left(\begin{matrix}2\\4\end{matrix}\right)$$

Kalikan persamaan sisi kiri dengan matriks terbalik \left(\begin{matrix}4&2\\1&1\end{matrix}\right).

$$inverse(\left(\begin{matrix}4&2\\1&1\end{matrix}\right))\left(\begin{matrix}4&2\\1&1\end{matrix}\right)\left(\begin{matrix}x\\y\end{matrix}\right)=inverse(\left(\begin{matrix}4&2\\1&1\end{matrix}\right))\left(\begin{matrix}2\\4\end{matrix}\right)$$

Hasil kali matriks dan invers-nya adalah matriks identitas.

$$\left(\begin{matrix}1&0\\0&1\end{matrix}\right)\left(\begin{matrix}x\\y\end{matrix}\right)=inverse(\left(\begin{matrix}4&2\\1&1\end{matrix}\right))\left(\begin{matrix}2\\4\end{matrix}\right)$$

Kalikan matriks pada sisi kiri tanda sama dengan.

$$\left(\begin{matrix}x\\y\end{matrix}\right)=inverse(\left(\begin{matrix}4&2\\1&1\end{matrix}\right))\left(\begin{matrix}2\\4\end{matrix}\right)$$

Untuk matriks 2\times 2 \left(\begin{matrix}a&b\\c&d\end{matrix}\right), matriks kebalikannya adalah \left(\begin{matrix}\frac{d}{ad-bc}&\frac{-b}{ad-bc}\\\frac{-c}{ad-bc}&\frac{a}{ad-bc}\end{matrix}\right), sehingga persamaan matriks dapat ditulis ulang sebagai masalah perkalian matriks.

$$\left(\begin{matrix}x\\y\end{matrix}\right)=\left(\begin{matrix}\frac{1}{4-2}&-\frac{2}{4-2}\\-\frac{1}{4-2}&\frac{4}{4-2}\end{matrix}\right)\left(\begin{matrix}2\\4\end{matrix}\right)$$

Lakukan penghitungannya.

$$\left(\begin{matrix}x\\y\end{matrix}\right)=\left(\begin{matrix}\frac{1}{2}&-1\\-\frac{1}{2}&2\end{matrix}\right)\left(\begin{matrix}2\\4\end{matrix}\right)$$

Kalikan matriks.

$$\left(\begin{matrix}x\\y\end{matrix}\right)=\left(\begin{matrix}\frac{1}{2}\times 2-4\\-\frac{1}{2}\times 2+2\times 4\end{matrix}\right)$$

Lakukan penghitungannya.

$$\left(\begin{matrix}x\\y\end{matrix}\right)=\left(\begin{matrix}-3\\7\end{matrix}\right)$$

Ekstrak elemen matriks x dan y.

$$x=-3,y=7$$

Langkah Menggunakan Eliminasi

Agar dapat menyelesaikan dengan eliminasi, koefisien dari satu variabel harus sama dengan kedua persamaan sehingga variabel dapat disederhanakan saat satu persamaan dikurangi dengan persamaan lainnya.

$$4x+2y=2,x+y=4$$

Untuk menjadikan 4x dan x yang sama, kalikan semua suku pada tiap sisi dari persamaan pertama dengan 1 dan semua suku pada tiap sisi yang kedua dengan 4.

$$4x+2y=2,4x+4y=4\times 4$$

Sederhanakan.

$$4x+2y=2,4x+4y=16$$

Kurangi 4x+4y=16 dari 4x+2y=2 dengan mengurangi suku sejenis pada tiap sisi dari tanda sama dengan.

$$4x-4x+2y-4y=2-16$$

Tambahkan 4x sampai -4x. Suku 4x dan -4x saling membatalkan, meninggalkan sebuah persamaan dengan hanya satu variabel yang dapat diselesaikan.

$$2y-4y=2-16$$

Tambahkan 2y sampai -4y.

$$-2y=2-16$$

Tambahkan 2 sampai -16.

$$-2y=-14$$

Bagi kedua sisi dengan -2.

$$y=7$$

Ganti 7 untuk y dalam x+y=4. Karena hasil persamaan hanya berisi satu variabel, Anda dapat menyelesaikan x secara langsung.

$$x+7=4$$

Kurangi 7 dari kedua sisi persamaan.

$$x=-3$$

Sistem kini terselesaikan.

$$x=-3,y=7$$