Selesaikan {l}{2x+5y=259}{199x-2y=1127}

$$\left. \begin{array} { l } { 2 x + 5 y = 259 } \\ { 199 x - 2 y = 1127 } \end{array} \right.$$

Cari nilai x, y

$$x = \frac{2051}{333} = 6\frac{53}{333} \approx 6.159159159$$

$$y = \frac{16429}{333} = 49\frac{112}{333} \approx 49.336336336$$

Langkah-Langkah yang Menggunakan Substitusi

Untuk menyelesaikan sepasang persamaan dengan substitusi, terlebih dahulu selesaikan satu persamaan untuk satu variabel. Lalu ganti hasil untuk variabel tersebut di persamaan yang lain.

$$2x+5y=259,199x-2y=1127$$

Pilih salah satu persamaan dan temukan nilai x dengan memisahkan x di sisi kiri tanda sama dengan.

$$2x+5y=259$$

Kurangi 5y dari kedua sisi persamaan.

$$2x=-5y+259$$

Bagi kedua sisi dengan 2.

$$x=\frac{1}{2}\left(-5y+259\right)$$

Kalikan \frac{1}{2} kali -5y+259.

$$x=-\frac{5}{2}y+\frac{259}{2}$$

Ganti \frac{-5y+259}{2} untuk x di persamaan lain, 199x-2y=1127.

$$199\left(-\frac{5}{2}y+\frac{259}{2}\right)-2y=1127$$

Kalikan 199 kali \frac{-5y+259}{2}.

$$-\frac{995}{2}y+\frac{51541}{2}-2y=1127$$

Tambahkan -\frac{995y}{2} sampai -2y.

$$-\frac{999}{2}y+\frac{51541}{2}=1127$$

Kurangi \frac{51541}{2} dari kedua sisi persamaan.

$$-\frac{999}{2}y=-\frac{49287}{2}$$

Bagi kedua sisi persamaan dengan -\frac{999}{2}, yang sama dengan mengalikan kedua sisi dengan resiprokal dari pecahan.

$$y=\frac{16429}{333}$$

Ganti \frac{16429}{333} untuk y dalam x=-\frac{5}{2}y+\frac{259}{2}. Karena hasil persamaan hanya berisi satu variabel, Anda dapat menyelesaikan x secara langsung.

$$x=-\frac{5}{2}\times \frac{16429}{333}+\frac{259}{2}$$

Kalikan -\frac{5}{2} kali \frac{16429}{333} dengan mengalikan bilangan pembilang dikalikan pembilang dan penyebut dikalikan penyebut. Lalu kurangi pecahan ke suku terkecil jika memungkinkan.

$$x=-\frac{82145}{666}+\frac{259}{2}$$

Tambahkan \frac{259}{2} ke -\frac{82145}{666} dengan mencari faktor persekutuan dan menambahkan pembilang. Lalu kurangi pecahan ke suku terkecil jika memungkinkan.

$$x=\frac{2051}{333}$$

Sistem kini terselesaikan.

$$x=\frac{2051}{333},y=\frac{16429}{333}$$

Langkah Menggunakan Matriks

Masukkan persamaan dalam bentuk standar lalu gunakan matriks untuk menyelesaikan sistem persamaannya.

$$2x+5y=259,199x-2y=1127$$

Tulis persamaan dalam bentuk matriks.

$$\left(\begin{matrix}2&5\\199&-2\end{matrix}\right)\left(\begin{matrix}x\\y\end{matrix}\right)=\left(\begin{matrix}259\\1127\end{matrix}\right)$$

Kalikan persamaan sisi kiri dengan matriks terbalik \left(\begin{matrix}2&5\\199&-2\end{matrix}\right).

$$inverse(\left(\begin{matrix}2&5\\199&-2\end{matrix}\right))\left(\begin{matrix}2&5\\199&-2\end{matrix}\right)\left(\begin{matrix}x\\y\end{matrix}\right)=inverse(\left(\begin{matrix}2&5\\199&-2\end{matrix}\right))\left(\begin{matrix}259\\1127\end{matrix}\right)$$

Hasil kali matriks dan invers-nya adalah matriks identitas.

$$\left(\begin{matrix}1&0\\0&1\end{matrix}\right)\left(\begin{matrix}x\\y\end{matrix}\right)=inverse(\left(\begin{matrix}2&5\\199&-2\end{matrix}\right))\left(\begin{matrix}259\\1127\end{matrix}\right)$$

Kalikan matriks pada sisi kiri tanda sama dengan.

$$\left(\begin{matrix}x\\y\end{matrix}\right)=inverse(\left(\begin{matrix}2&5\\199&-2\end{matrix}\right))\left(\begin{matrix}259\\1127\end{matrix}\right)$$

Untuk matriks 2\times 2 \left(\begin{matrix}a&b\\c&d\end{matrix}\right), matriks kebalikannya adalah \left(\begin{matrix}\frac{d}{ad-bc}&\frac{-b}{ad-bc}\\\frac{-c}{ad-bc}&\frac{a}{ad-bc}\end{matrix}\right), sehingga persamaan matriks dapat ditulis ulang sebagai masalah perkalian matriks.

$$\left(\begin{matrix}x\\y\end{matrix}\right)=\left(\begin{matrix}-\frac{2}{2\left(-2\right)-5\times 199}&-\frac{5}{2\left(-2\right)-5\times 199}\\-\frac{199}{2\left(-2\right)-5\times 199}&\frac{2}{2\left(-2\right)-5\times 199}\end{matrix}\right)\left(\begin{matrix}259\\1127\end{matrix}\right)$$

Lakukan penghitungannya.

$$\left(\begin{matrix}x\\y\end{matrix}\right)=\left(\begin{matrix}\frac{2}{999}&\frac{5}{999}\\\frac{199}{999}&-\frac{2}{999}\end{matrix}\right)\left(\begin{matrix}259\\1127\end{matrix}\right)$$

Kalikan matriks.

$$\left(\begin{matrix}x\\y\end{matrix}\right)=\left(\begin{matrix}\frac{2}{999}\times 259+\frac{5}{999}\times 1127\\\frac{199}{999}\times 259-\frac{2}{999}\times 1127\end{matrix}\right)$$

Lakukan penghitungannya.

$$\left(\begin{matrix}x\\y\end{matrix}\right)=\left(\begin{matrix}\frac{2051}{333}\\\frac{16429}{333}\end{matrix}\right)$$

Ekstrak elemen matriks x dan y.

$$x=\frac{2051}{333},y=\frac{16429}{333}$$

Langkah Menggunakan Eliminasi

Agar dapat menyelesaikan dengan eliminasi, koefisien dari satu variabel harus sama dengan kedua persamaan sehingga variabel dapat disederhanakan saat satu persamaan dikurangi dengan persamaan lainnya.

$$2x+5y=259,199x-2y=1127$$

Untuk menjadikan 2x dan 199x yang sama, kalikan semua suku pada tiap sisi dari persamaan pertama dengan 199 dan semua suku pada tiap sisi yang kedua dengan 2.

$$199\times 2x+199\times 5y=199\times 259,2\times 199x+2\left(-2\right)y=2\times 1127$$

Sederhanakan.

$$398x+995y=51541,398x-4y=2254$$

Kurangi 398x-4y=2254 dari 398x+995y=51541 dengan mengurangi suku sejenis pada tiap sisi dari tanda sama dengan.

$$398x-398x+995y+4y=51541-2254$$

Tambahkan 398x sampai -398x. Suku 398x dan -398x saling membatalkan, meninggalkan sebuah persamaan dengan hanya satu variabel yang dapat diselesaikan.

$$995y+4y=51541-2254$$

Tambahkan 995y sampai 4y.

$$999y=51541-2254$$

Tambahkan 51541 sampai -2254.

$$999y=49287$$

Bagi kedua sisi dengan 999.

$$y=\frac{16429}{333}$$

Ganti \frac{16429}{333} untuk y dalam 199x-2y=1127. Karena hasil persamaan hanya berisi satu variabel, Anda dapat menyelesaikan x secara langsung.

$$199x-2\times \frac{16429}{333}=1127$$

Kalikan -2 kali \frac{16429}{333}.

$$199x-\frac{32858}{333}=1127$$

Tambahkan \frac{32858}{333} ke kedua sisi persamaan.

$$199x=\frac{408149}{333}$$

Bagi kedua sisi dengan 199.

$$x=\frac{2051}{333}$$

Sistem kini terselesaikan.

$$x=\frac{2051}{333},y=\frac{16429}{333}$$