Selesaikan {l}{2x+4y=-4}{2x+y=8}

$$\left. \begin{array} { l } { 2 x + 4 y = - 4 } \\ { 2 x + y = 8 } \end{array} \right.$$

Cari nilai x, y

$$x=6$$

$$y=-4$$

Langkah-Langkah yang Menggunakan Substitusi

Untuk menyelesaikan sepasang persamaan dengan substitusi, terlebih dahulu selesaikan satu persamaan untuk satu variabel. Lalu ganti hasil untuk variabel tersebut di persamaan yang lain.

$$2x+4y=-4,2x+y=8$$

Pilih salah satu persamaan dan temukan nilai x dengan memisahkan x di sisi kiri tanda sama dengan.

$$2x+4y=-4$$

Kurangi 4y dari kedua sisi persamaan.

$$2x=-4y-4$$

Bagi kedua sisi dengan 2.

$$x=\frac{1}{2}\left(-4y-4\right)$$

Kalikan \frac{1}{2} kali -4y-4.

$$x=-2y-2$$

Ganti -2y-2 untuk x di persamaan lain, 2x+y=8.

$$2\left(-2y-2\right)+y=8$$

Kalikan 2 kali -2y-2.

$$-4y-4+y=8$$

Tambahkan -4y sampai y.

$$-3y-4=8$$

Tambahkan 4 ke kedua sisi persamaan.

$$-3y=12$$

Bagi kedua sisi dengan -3.

$$y=-4$$

Ganti -4 untuk y dalam x=-2y-2. Karena hasil persamaan hanya berisi satu variabel, Anda dapat menyelesaikan x secara langsung.

$$x=-2\left(-4\right)-2$$

Kalikan -2 kali -4.

$$x=8-2$$

Tambahkan -2 sampai 8.

$$x=6$$

Sistem kini terselesaikan.

$$x=6,y=-4$$

Langkah Menggunakan Matriks

Masukkan persamaan dalam bentuk standar lalu gunakan matriks untuk menyelesaikan sistem persamaannya.

$$2x+4y=-4,2x+y=8$$

Tulis persamaan dalam bentuk matriks.

$$\left(\begin{matrix}2&4\\2&1\end{matrix}\right)\left(\begin{matrix}x\\y\end{matrix}\right)=\left(\begin{matrix}-4\\8\end{matrix}\right)$$

Kalikan persamaan sisi kiri dengan matriks terbalik \left(\begin{matrix}2&4\\2&1\end{matrix}\right).

$$inverse(\left(\begin{matrix}2&4\\2&1\end{matrix}\right))\left(\begin{matrix}2&4\\2&1\end{matrix}\right)\left(\begin{matrix}x\\y\end{matrix}\right)=inverse(\left(\begin{matrix}2&4\\2&1\end{matrix}\right))\left(\begin{matrix}-4\\8\end{matrix}\right)$$

Hasil kali matriks dan invers-nya adalah matriks identitas.

$$\left(\begin{matrix}1&0\\0&1\end{matrix}\right)\left(\begin{matrix}x\\y\end{matrix}\right)=inverse(\left(\begin{matrix}2&4\\2&1\end{matrix}\right))\left(\begin{matrix}-4\\8\end{matrix}\right)$$

Kalikan matriks pada sisi kiri tanda sama dengan.

$$\left(\begin{matrix}x\\y\end{matrix}\right)=inverse(\left(\begin{matrix}2&4\\2&1\end{matrix}\right))\left(\begin{matrix}-4\\8\end{matrix}\right)$$

Untuk matriks 2\times 2 \left(\begin{matrix}a&b\\c&d\end{matrix}\right), matriks kebalikannya adalah \left(\begin{matrix}\frac{d}{ad-bc}&\frac{-b}{ad-bc}\\\frac{-c}{ad-bc}&\frac{a}{ad-bc}\end{matrix}\right), sehingga persamaan matriks dapat ditulis ulang sebagai masalah perkalian matriks.

$$\left(\begin{matrix}x\\y\end{matrix}\right)=\left(\begin{matrix}\frac{1}{2-4\times 2}&-\frac{4}{2-4\times 2}\\-\frac{2}{2-4\times 2}&\frac{2}{2-4\times 2}\end{matrix}\right)\left(\begin{matrix}-4\\8\end{matrix}\right)$$

Lakukan penghitungannya.

$$\left(\begin{matrix}x\\y\end{matrix}\right)=\left(\begin{matrix}-\frac{1}{6}&\frac{2}{3}\\\frac{1}{3}&-\frac{1}{3}\end{matrix}\right)\left(\begin{matrix}-4\\8\end{matrix}\right)$$

Kalikan matriks.

$$\left(\begin{matrix}x\\y\end{matrix}\right)=\left(\begin{matrix}-\frac{1}{6}\left(-4\right)+\frac{2}{3}\times 8\\\frac{1}{3}\left(-4\right)-\frac{1}{3}\times 8\end{matrix}\right)$$

Lakukan penghitungannya.

$$\left(\begin{matrix}x\\y\end{matrix}\right)=\left(\begin{matrix}6\\-4\end{matrix}\right)$$

Ekstrak elemen matriks x dan y.

$$x=6,y=-4$$

Langkah Menggunakan Eliminasi

Agar dapat menyelesaikan dengan eliminasi, koefisien dari satu variabel harus sama dengan kedua persamaan sehingga variabel dapat disederhanakan saat satu persamaan dikurangi dengan persamaan lainnya.

$$2x+4y=-4,2x+y=8$$

Kurangi 2x+y=8 dari 2x+4y=-4 dengan mengurangi suku sejenis pada tiap sisi dari tanda sama dengan.

$$2x-2x+4y-y=-4-8$$

Tambahkan 2x sampai -2x. Suku 2x dan -2x saling membatalkan, meninggalkan sebuah persamaan dengan hanya satu variabel yang dapat diselesaikan.

$$4y-y=-4-8$$

Tambahkan 4y sampai -y.

$$3y=-4-8$$

Tambahkan -4 sampai -8.

$$3y=-12$$

Bagi kedua sisi dengan 3.

$$y=-4$$

Ganti -4 untuk y dalam 2x+y=8. Karena hasil persamaan hanya berisi satu variabel, Anda dapat menyelesaikan x secara langsung.

$$2x-4=8$$

Tambahkan 4 ke kedua sisi persamaan.

$$2x=12$$

Bagi kedua sisi dengan 2.

$$x=6$$

Sistem kini terselesaikan.

$$x=6,y=-4$$