Selesaikan {l}{2x+3y=10}{4x+5y=42}

$$\left. \begin{array} { l } { 2 x + 3 y = 10 } \\ { 4 x + 5 y = 42 } \end{array} \right.$$

Cari nilai x, y

$$x=38$$

$$y=-22$$

Langkah-Langkah yang Menggunakan Substitusi

Untuk menyelesaikan sepasang persamaan dengan substitusi, terlebih dahulu selesaikan satu persamaan untuk satu variabel. Lalu ganti hasil untuk variabel tersebut di persamaan yang lain.

$$2x+3y=10,4x+5y=42$$

Pilih salah satu persamaan dan temukan nilai x dengan memisahkan x di sisi kiri tanda sama dengan.

$$2x+3y=10$$

Kurangi 3y dari kedua sisi persamaan.

$$2x=-3y+10$$

Bagi kedua sisi dengan 2.

$$x=\frac{1}{2}\left(-3y+10\right)$$

Kalikan \frac{1}{2} kali -3y+10.

$$x=-\frac{3}{2}y+5$$

Ganti -\frac{3y}{2}+5 untuk x di persamaan lain, 4x+5y=42.

$$4\left(-\frac{3}{2}y+5\right)+5y=42$$

Kalikan 4 kali -\frac{3y}{2}+5.

$$-6y+20+5y=42$$

Tambahkan -6y sampai 5y.

$$-y+20=42$$

Kurangi 20 dari kedua sisi persamaan.

$$-y=22$$

Bagi kedua sisi dengan -1.

$$y=-22$$

Ganti -22 untuk y dalam x=-\frac{3}{2}y+5. Karena hasil persamaan hanya berisi satu variabel, Anda dapat menyelesaikan x secara langsung.

$$x=-\frac{3}{2}\left(-22\right)+5$$

Kalikan -\frac{3}{2} kali -22.

$$x=33+5$$

Tambahkan 5 sampai 33.

$$x=38$$

Sistem kini terselesaikan.

$$x=38,y=-22$$

Langkah Menggunakan Matriks

Masukkan persamaan dalam bentuk standar lalu gunakan matriks untuk menyelesaikan sistem persamaannya.

$$2x+3y=10,4x+5y=42$$

Tulis persamaan dalam bentuk matriks.

$$\left(\begin{matrix}2&3\\4&5\end{matrix}\right)\left(\begin{matrix}x\\y\end{matrix}\right)=\left(\begin{matrix}10\\42\end{matrix}\right)$$

Kalikan persamaan sisi kiri dengan matriks terbalik \left(\begin{matrix}2&3\\4&5\end{matrix}\right).

$$inverse(\left(\begin{matrix}2&3\\4&5\end{matrix}\right))\left(\begin{matrix}2&3\\4&5\end{matrix}\right)\left(\begin{matrix}x\\y\end{matrix}\right)=inverse(\left(\begin{matrix}2&3\\4&5\end{matrix}\right))\left(\begin{matrix}10\\42\end{matrix}\right)$$

Hasil kali matriks dan invers-nya adalah matriks identitas.

$$\left(\begin{matrix}1&0\\0&1\end{matrix}\right)\left(\begin{matrix}x\\y\end{matrix}\right)=inverse(\left(\begin{matrix}2&3\\4&5\end{matrix}\right))\left(\begin{matrix}10\\42\end{matrix}\right)$$

Kalikan matriks pada sisi kiri tanda sama dengan.

$$\left(\begin{matrix}x\\y\end{matrix}\right)=inverse(\left(\begin{matrix}2&3\\4&5\end{matrix}\right))\left(\begin{matrix}10\\42\end{matrix}\right)$$

Untuk matriks 2\times 2 \left(\begin{matrix}a&b\\c&d\end{matrix}\right), matriks kebalikannya adalah \left(\begin{matrix}\frac{d}{ad-bc}&\frac{-b}{ad-bc}\\\frac{-c}{ad-bc}&\frac{a}{ad-bc}\end{matrix}\right), sehingga persamaan matriks dapat ditulis ulang sebagai masalah perkalian matriks.

$$\left(\begin{matrix}x\\y\end{matrix}\right)=\left(\begin{matrix}\frac{5}{2\times 5-3\times 4}&-\frac{3}{2\times 5-3\times 4}\\-\frac{4}{2\times 5-3\times 4}&\frac{2}{2\times 5-3\times 4}\end{matrix}\right)\left(\begin{matrix}10\\42\end{matrix}\right)$$

Lakukan penghitungannya.

$$\left(\begin{matrix}x\\y\end{matrix}\right)=\left(\begin{matrix}-\frac{5}{2}&\frac{3}{2}\\2&-1\end{matrix}\right)\left(\begin{matrix}10\\42\end{matrix}\right)$$

Kalikan matriks.

$$\left(\begin{matrix}x\\y\end{matrix}\right)=\left(\begin{matrix}-\frac{5}{2}\times 10+\frac{3}{2}\times 42\\2\times 10-42\end{matrix}\right)$$

Lakukan penghitungannya.

$$\left(\begin{matrix}x\\y\end{matrix}\right)=\left(\begin{matrix}38\\-22\end{matrix}\right)$$

Ekstrak elemen matriks x dan y.

$$x=38,y=-22$$

Langkah Menggunakan Eliminasi

Agar dapat menyelesaikan dengan eliminasi, koefisien dari satu variabel harus sama dengan kedua persamaan sehingga variabel dapat disederhanakan saat satu persamaan dikurangi dengan persamaan lainnya.

$$2x+3y=10,4x+5y=42$$

Untuk menjadikan 2x dan 4x yang sama, kalikan semua suku pada tiap sisi dari persamaan pertama dengan 4 dan semua suku pada tiap sisi yang kedua dengan 2.

$$4\times 2x+4\times 3y=4\times 10,2\times 4x+2\times 5y=2\times 42$$

Sederhanakan.

$$8x+12y=40,8x+10y=84$$

Kurangi 8x+10y=84 dari 8x+12y=40 dengan mengurangi suku sejenis pada tiap sisi dari tanda sama dengan.

$$8x-8x+12y-10y=40-84$$

Tambahkan 8x sampai -8x. Suku 8x dan -8x saling membatalkan, meninggalkan sebuah persamaan dengan hanya satu variabel yang dapat diselesaikan.

$$12y-10y=40-84$$

Tambahkan 12y sampai -10y.

$$2y=40-84$$

Tambahkan 40 sampai -84.

$$2y=-44$$

Bagi kedua sisi dengan 2.

$$y=-22$$

Ganti -22 untuk y dalam 4x+5y=42. Karena hasil persamaan hanya berisi satu variabel, Anda dapat menyelesaikan x secara langsung.

$$4x+5\left(-22\right)=42$$

Kalikan 5 kali -22.

$$4x-110=42$$

Tambahkan 110 ke kedua sisi persamaan.

$$4x=152$$

Bagi kedua sisi dengan 4.

$$x=38$$

Sistem kini terselesaikan.

$$x=38,y=-22$$