Selesaikan {l}{2x+16y=22}{4x+8y=20}

$$\left. \begin{array} { l } { 2 x + 16 y = 22 } \\ { 4 x + 8 y = 20 } \end{array} \right.$$

Cari nilai x, y

$$x=3$$

$$y=1$$

Langkah-Langkah yang Menggunakan Substitusi

Untuk menyelesaikan sepasang persamaan dengan substitusi, terlebih dahulu selesaikan satu persamaan untuk satu variabel. Lalu ganti hasil untuk variabel tersebut di persamaan yang lain.

$$2x+16y=22,4x+8y=20$$

Pilih salah satu persamaan dan temukan nilai x dengan memisahkan x di sisi kiri tanda sama dengan.

$$2x+16y=22$$

Kurangi 16y dari kedua sisi persamaan.

$$2x=-16y+22$$

Bagi kedua sisi dengan 2.

$$x=\frac{1}{2}\left(-16y+22\right)$$

Kalikan \frac{1}{2} kali -16y+22.

$$x=-8y+11$$

Ganti -8y+11 untuk x di persamaan lain, 4x+8y=20.

$$4\left(-8y+11\right)+8y=20$$

Kalikan 4 kali -8y+11.

$$-32y+44+8y=20$$

Tambahkan -32y sampai 8y.

$$-24y+44=20$$

Kurangi 44 dari kedua sisi persamaan.

$$-24y=-24$$

Bagi kedua sisi dengan -24.

$$y=1$$

Ganti 1 untuk y dalam x=-8y+11. Karena hasil persamaan hanya berisi satu variabel, Anda dapat menyelesaikan x secara langsung.

$$x=-8+11$$

Tambahkan 11 sampai -8.

$$x=3$$

Sistem kini terselesaikan.

$$x=3,y=1$$

Langkah Menggunakan Matriks

Masukkan persamaan dalam bentuk standar lalu gunakan matriks untuk menyelesaikan sistem persamaannya.

$$2x+16y=22,4x+8y=20$$

Tulis persamaan dalam bentuk matriks.

$$\left(\begin{matrix}2&16\\4&8\end{matrix}\right)\left(\begin{matrix}x\\y\end{matrix}\right)=\left(\begin{matrix}22\\20\end{matrix}\right)$$

Kalikan persamaan sisi kiri dengan matriks terbalik \left(\begin{matrix}2&16\\4&8\end{matrix}\right).

$$inverse(\left(\begin{matrix}2&16\\4&8\end{matrix}\right))\left(\begin{matrix}2&16\\4&8\end{matrix}\right)\left(\begin{matrix}x\\y\end{matrix}\right)=inverse(\left(\begin{matrix}2&16\\4&8\end{matrix}\right))\left(\begin{matrix}22\\20\end{matrix}\right)$$

Hasil kali matriks dan invers-nya adalah matriks identitas.

$$\left(\begin{matrix}1&0\\0&1\end{matrix}\right)\left(\begin{matrix}x\\y\end{matrix}\right)=inverse(\left(\begin{matrix}2&16\\4&8\end{matrix}\right))\left(\begin{matrix}22\\20\end{matrix}\right)$$

Kalikan matriks pada sisi kiri tanda sama dengan.

$$\left(\begin{matrix}x\\y\end{matrix}\right)=inverse(\left(\begin{matrix}2&16\\4&8\end{matrix}\right))\left(\begin{matrix}22\\20\end{matrix}\right)$$

Untuk matriks 2\times 2 \left(\begin{matrix}a&b\\c&d\end{matrix}\right), matriks kebalikannya adalah \left(\begin{matrix}\frac{d}{ad-bc}&\frac{-b}{ad-bc}\\\frac{-c}{ad-bc}&\frac{a}{ad-bc}\end{matrix}\right), sehingga persamaan matriks dapat ditulis ulang sebagai masalah perkalian matriks.

$$\left(\begin{matrix}x\\y\end{matrix}\right)=\left(\begin{matrix}\frac{8}{2\times 8-16\times 4}&-\frac{16}{2\times 8-16\times 4}\\-\frac{4}{2\times 8-16\times 4}&\frac{2}{2\times 8-16\times 4}\end{matrix}\right)\left(\begin{matrix}22\\20\end{matrix}\right)$$

Lakukan penghitungannya.

$$\left(\begin{matrix}x\\y\end{matrix}\right)=\left(\begin{matrix}-\frac{1}{6}&\frac{1}{3}\\\frac{1}{12}&-\frac{1}{24}\end{matrix}\right)\left(\begin{matrix}22\\20\end{matrix}\right)$$

Kalikan matriks.

$$\left(\begin{matrix}x\\y\end{matrix}\right)=\left(\begin{matrix}-\frac{1}{6}\times 22+\frac{1}{3}\times 20\\\frac{1}{12}\times 22-\frac{1}{24}\times 20\end{matrix}\right)$$

Lakukan penghitungannya.

$$\left(\begin{matrix}x\\y\end{matrix}\right)=\left(\begin{matrix}3\\1\end{matrix}\right)$$

Ekstrak elemen matriks x dan y.

$$x=3,y=1$$

Langkah Menggunakan Eliminasi

Agar dapat menyelesaikan dengan eliminasi, koefisien dari satu variabel harus sama dengan kedua persamaan sehingga variabel dapat disederhanakan saat satu persamaan dikurangi dengan persamaan lainnya.

$$2x+16y=22,4x+8y=20$$

Untuk menjadikan 2x dan 4x yang sama, kalikan semua suku pada tiap sisi dari persamaan pertama dengan 4 dan semua suku pada tiap sisi yang kedua dengan 2.

$$4\times 2x+4\times 16y=4\times 22,2\times 4x+2\times 8y=2\times 20$$

Sederhanakan.

$$8x+64y=88,8x+16y=40$$

Kurangi 8x+16y=40 dari 8x+64y=88 dengan mengurangi suku sejenis pada tiap sisi dari tanda sama dengan.

$$8x-8x+64y-16y=88-40$$

Tambahkan 8x sampai -8x. Suku 8x dan -8x saling membatalkan, meninggalkan sebuah persamaan dengan hanya satu variabel yang dapat diselesaikan.

$$64y-16y=88-40$$

Tambahkan 64y sampai -16y.

$$48y=88-40$$

Tambahkan 88 sampai -40.

$$48y=48$$

Bagi kedua sisi dengan 48.

$$y=1$$

Ganti 1 untuk y dalam 4x+8y=20. Karena hasil persamaan hanya berisi satu variabel, Anda dapat menyelesaikan x secara langsung.

$$4x+8=20$$

Kurangi 8 dari kedua sisi persamaan.

$$4x=12$$

Bagi kedua sisi dengan 4.

$$x=3$$

Sistem kini terselesaikan.

$$x=3,y=1$$