Selesaikan {l}{13x+20y=48}{20x+93y=1}

$$\left. \begin{array} { l } { 13 x + 20 y = 48 } \\ { 20 x + 93 y = 1 } \end{array} \right.$$

Cari nilai x, y

$$x = \frac{4444}{809} = 5\frac{399}{809} \approx 5.493201483$$

$$y = -\frac{947}{809} = -1\frac{138}{809} \approx -1.170580964$$

Langkah-Langkah yang Menggunakan Substitusi

Untuk menyelesaikan sepasang persamaan dengan substitusi, terlebih dahulu selesaikan satu persamaan untuk satu variabel. Lalu ganti hasil untuk variabel tersebut di persamaan yang lain.

$$13x+20y=48,20x+93y=1$$

Pilih salah satu persamaan dan temukan nilai x dengan memisahkan x di sisi kiri tanda sama dengan.

$$13x+20y=48$$

Kurangi 20y dari kedua sisi persamaan.

$$13x=-20y+48$$

Bagi kedua sisi dengan 13.

$$x=\frac{1}{13}\left(-20y+48\right)$$

Kalikan \frac{1}{13} kali -20y+48.

$$x=-\frac{20}{13}y+\frac{48}{13}$$

Ganti \frac{-20y+48}{13} untuk x di persamaan lain, 20x+93y=1.

$$20\left(-\frac{20}{13}y+\frac{48}{13}\right)+93y=1$$

Kalikan 20 kali \frac{-20y+48}{13}.

$$-\frac{400}{13}y+\frac{960}{13}+93y=1$$

Tambahkan -\frac{400y}{13} sampai 93y.

$$\frac{809}{13}y+\frac{960}{13}=1$$

Kurangi \frac{960}{13} dari kedua sisi persamaan.

$$\frac{809}{13}y=-\frac{947}{13}$$

Bagi kedua sisi persamaan dengan \frac{809}{13}, yang sama dengan mengalikan kedua sisi dengan resiprokal dari pecahan.

$$y=-\frac{947}{809}$$

Ganti -\frac{947}{809} untuk y dalam x=-\frac{20}{13}y+\frac{48}{13}. Karena hasil persamaan hanya berisi satu variabel, Anda dapat menyelesaikan x secara langsung.

$$x=-\frac{20}{13}\left(-\frac{947}{809}\right)+\frac{48}{13}$$

Kalikan -\frac{20}{13} kali -\frac{947}{809} dengan mengalikan bilangan pembilang dikalikan pembilang dan penyebut dikalikan penyebut. Lalu kurangi pecahan ke suku terkecil jika memungkinkan.

$$x=\frac{18940}{10517}+\frac{48}{13}$$

Tambahkan \frac{48}{13} ke \frac{18940}{10517} dengan mencari faktor persekutuan dan menambahkan pembilang. Lalu kurangi pecahan ke suku terkecil jika memungkinkan.

$$x=\frac{4444}{809}$$

Sistem kini terselesaikan.

$$x=\frac{4444}{809},y=-\frac{947}{809}$$

Langkah Menggunakan Matriks

Masukkan persamaan dalam bentuk standar lalu gunakan matriks untuk menyelesaikan sistem persamaannya.

$$13x+20y=48,20x+93y=1$$

Tulis persamaan dalam bentuk matriks.

$$\left(\begin{matrix}13&20\\20&93\end{matrix}\right)\left(\begin{matrix}x\\y\end{matrix}\right)=\left(\begin{matrix}48\\1\end{matrix}\right)$$

Kalikan persamaan sisi kiri dengan matriks terbalik \left(\begin{matrix}13&20\\20&93\end{matrix}\right).

$$inverse(\left(\begin{matrix}13&20\\20&93\end{matrix}\right))\left(\begin{matrix}13&20\\20&93\end{matrix}\right)\left(\begin{matrix}x\\y\end{matrix}\right)=inverse(\left(\begin{matrix}13&20\\20&93\end{matrix}\right))\left(\begin{matrix}48\\1\end{matrix}\right)$$

Hasil kali matriks dan invers-nya adalah matriks identitas.

$$\left(\begin{matrix}1&0\\0&1\end{matrix}\right)\left(\begin{matrix}x\\y\end{matrix}\right)=inverse(\left(\begin{matrix}13&20\\20&93\end{matrix}\right))\left(\begin{matrix}48\\1\end{matrix}\right)$$

Kalikan matriks pada sisi kiri tanda sama dengan.

$$\left(\begin{matrix}x\\y\end{matrix}\right)=inverse(\left(\begin{matrix}13&20\\20&93\end{matrix}\right))\left(\begin{matrix}48\\1\end{matrix}\right)$$

Untuk matriks 2\times 2 \left(\begin{matrix}a&b\\c&d\end{matrix}\right), matriks kebalikannya adalah \left(\begin{matrix}\frac{d}{ad-bc}&\frac{-b}{ad-bc}\\\frac{-c}{ad-bc}&\frac{a}{ad-bc}\end{matrix}\right), sehingga persamaan matriks dapat ditulis ulang sebagai masalah perkalian matriks.

$$\left(\begin{matrix}x\\y\end{matrix}\right)=\left(\begin{matrix}\frac{93}{13\times 93-20\times 20}&-\frac{20}{13\times 93-20\times 20}\\-\frac{20}{13\times 93-20\times 20}&\frac{13}{13\times 93-20\times 20}\end{matrix}\right)\left(\begin{matrix}48\\1\end{matrix}\right)$$

Lakukan penghitungannya.

$$\left(\begin{matrix}x\\y\end{matrix}\right)=\left(\begin{matrix}\frac{93}{809}&-\frac{20}{809}\\-\frac{20}{809}&\frac{13}{809}\end{matrix}\right)\left(\begin{matrix}48\\1\end{matrix}\right)$$

Kalikan matriks.

$$\left(\begin{matrix}x\\y\end{matrix}\right)=\left(\begin{matrix}\frac{93}{809}\times 48-\frac{20}{809}\\-\frac{20}{809}\times 48+\frac{13}{809}\end{matrix}\right)$$

Lakukan penghitungannya.

$$\left(\begin{matrix}x\\y\end{matrix}\right)=\left(\begin{matrix}\frac{4444}{809}\\-\frac{947}{809}\end{matrix}\right)$$

Ekstrak elemen matriks x dan y.

$$x=\frac{4444}{809},y=-\frac{947}{809}$$

Langkah Menggunakan Eliminasi

Agar dapat menyelesaikan dengan eliminasi, koefisien dari satu variabel harus sama dengan kedua persamaan sehingga variabel dapat disederhanakan saat satu persamaan dikurangi dengan persamaan lainnya.

$$13x+20y=48,20x+93y=1$$

Untuk menjadikan 13x dan 20x yang sama, kalikan semua suku pada tiap sisi dari persamaan pertama dengan 20 dan semua suku pada tiap sisi yang kedua dengan 13.

$$20\times 13x+20\times 20y=20\times 48,13\times 20x+13\times 93y=13$$

Sederhanakan.

$$260x+400y=960,260x+1209y=13$$

Kurangi 260x+1209y=13 dari 260x+400y=960 dengan mengurangi suku sejenis pada tiap sisi dari tanda sama dengan.

$$260x-260x+400y-1209y=960-13$$

Tambahkan 260x sampai -260x. Suku 260x dan -260x saling membatalkan, meninggalkan sebuah persamaan dengan hanya satu variabel yang dapat diselesaikan.

$$400y-1209y=960-13$$

Tambahkan 400y sampai -1209y.

$$-809y=960-13$$

Tambahkan 960 sampai -13.

$$-809y=947$$

Bagi kedua sisi dengan -809.

$$y=-\frac{947}{809}$$

Ganti -\frac{947}{809} untuk y dalam 20x+93y=1. Karena hasil persamaan hanya berisi satu variabel, Anda dapat menyelesaikan x secara langsung.

$$20x+93\left(-\frac{947}{809}\right)=1$$

Kalikan 93 kali -\frac{947}{809}.

$$20x-\frac{88071}{809}=1$$

Tambahkan \frac{88071}{809} ke kedua sisi persamaan.

$$20x=\frac{88880}{809}$$

Bagi kedua sisi dengan 20.

$$x=\frac{4444}{809}$$

Sistem kini terselesaikan.

$$x=\frac{4444}{809},y=-\frac{947}{809}$$