Selesaikan {l}{x/3-y/2=8}{x/5+y/3=1}

$$\left. \begin{array} { l } { \frac { x } { 3 } - \frac { y } { 2 } = 8 } \\ { \frac { x } { 5 } + \frac { y } { 3 } = 1 } \end{array} \right.$$

Cari nilai x, y

$$x=15$$

$$y=-6$$

Langkah-Langkah yang Menggunakan Substitusi

Sederhanakan persamaan pertama. Kalikan kedua sisi persamaan dengan 6, kelipatan perkalian terkecil dari 3,2.

$$2x-3y=48$$

Sederhanakan persamaan kedua. Kalikan kedua sisi persamaan dengan 15, kelipatan perkalian terkecil dari 5,3.

$$3x+5y=15$$

Untuk menyelesaikan sepasang persamaan dengan substitusi, terlebih dahulu selesaikan satu persamaan untuk satu variabel. Lalu ganti hasil untuk variabel tersebut di persamaan yang lain.

$$2x-3y=48,3x+5y=15$$

Pilih salah satu persamaan dan temukan nilai x dengan memisahkan x di sisi kiri tanda sama dengan.

$$2x-3y=48$$

Tambahkan 3y ke kedua sisi persamaan.

$$2x=3y+48$$

Bagi kedua sisi dengan 2.

$$x=\frac{1}{2}\left(3y+48\right)$$

Kalikan \frac{1}{2} kali 48+3y.

$$x=\frac{3}{2}y+24$$

Ganti \frac{3y}{2}+24 untuk x di persamaan lain, 3x+5y=15.

$$3\left(\frac{3}{2}y+24\right)+5y=15$$

Kalikan 3 kali \frac{3y}{2}+24.

$$\frac{9}{2}y+72+5y=15$$

Tambahkan \frac{9y}{2} sampai 5y.

$$\frac{19}{2}y+72=15$$

Kurangi 72 dari kedua sisi persamaan.

$$\frac{19}{2}y=-57$$

Bagi kedua sisi persamaan dengan \frac{19}{2}, yang sama dengan mengalikan kedua sisi dengan resiprokal dari pecahan.

$$y=-6$$

Ganti -6 untuk y dalam x=\frac{3}{2}y+24. Karena hasil persamaan hanya berisi satu variabel, Anda dapat menyelesaikan x secara langsung.

$$x=\frac{3}{2}\left(-6\right)+24$$

Kalikan \frac{3}{2} kali -6.

$$x=-9+24$$

Tambahkan 24 sampai -9.

$$x=15$$

Sistem kini terselesaikan.

$$x=15,y=-6$$

Langkah Menggunakan Matriks

Sederhanakan persamaan pertama. Kalikan kedua sisi persamaan dengan 6, kelipatan perkalian terkecil dari 3,2.

$$2x-3y=48$$

Sederhanakan persamaan kedua. Kalikan kedua sisi persamaan dengan 15, kelipatan perkalian terkecil dari 5,3.

$$3x+5y=15$$

Masukkan persamaan dalam bentuk standar lalu gunakan matriks untuk menyelesaikan sistem persamaannya.

$$2x-3y=48,3x+5y=15$$

Tulis persamaan dalam bentuk matriks.

$$\left(\begin{matrix}2&-3\\3&5\end{matrix}\right)\left(\begin{matrix}x\\y\end{matrix}\right)=\left(\begin{matrix}48\\15\end{matrix}\right)$$

Kalikan persamaan sisi kiri dengan matriks terbalik \left(\begin{matrix}2&-3\\3&5\end{matrix}\right).

$$inverse(\left(\begin{matrix}2&-3\\3&5\end{matrix}\right))\left(\begin{matrix}2&-3\\3&5\end{matrix}\right)\left(\begin{matrix}x\\y\end{matrix}\right)=inverse(\left(\begin{matrix}2&-3\\3&5\end{matrix}\right))\left(\begin{matrix}48\\15\end{matrix}\right)$$

Hasil kali matriks dan invers-nya adalah matriks identitas.

$$\left(\begin{matrix}1&0\\0&1\end{matrix}\right)\left(\begin{matrix}x\\y\end{matrix}\right)=inverse(\left(\begin{matrix}2&-3\\3&5\end{matrix}\right))\left(\begin{matrix}48\\15\end{matrix}\right)$$

Kalikan matriks pada sisi kiri tanda sama dengan.

$$\left(\begin{matrix}x\\y\end{matrix}\right)=inverse(\left(\begin{matrix}2&-3\\3&5\end{matrix}\right))\left(\begin{matrix}48\\15\end{matrix}\right)$$

Untuk matriks 2\times 2 \left(\begin{matrix}a&b\\c&d\end{matrix}\right), matriks kebalikannya adalah \left(\begin{matrix}\frac{d}{ad-bc}&\frac{-b}{ad-bc}\\\frac{-c}{ad-bc}&\frac{a}{ad-bc}\end{matrix}\right), sehingga persamaan matriks dapat ditulis ulang sebagai masalah perkalian matriks.

$$\left(\begin{matrix}x\\y\end{matrix}\right)=\left(\begin{matrix}\frac{5}{2\times 5-\left(-3\times 3\right)}&-\frac{-3}{2\times 5-\left(-3\times 3\right)}\\-\frac{3}{2\times 5-\left(-3\times 3\right)}&\frac{2}{2\times 5-\left(-3\times 3\right)}\end{matrix}\right)\left(\begin{matrix}48\\15\end{matrix}\right)$$

Lakukan penghitungannya.

$$\left(\begin{matrix}x\\y\end{matrix}\right)=\left(\begin{matrix}\frac{5}{19}&\frac{3}{19}\\-\frac{3}{19}&\frac{2}{19}\end{matrix}\right)\left(\begin{matrix}48\\15\end{matrix}\right)$$

Kalikan matriks.

$$\left(\begin{matrix}x\\y\end{matrix}\right)=\left(\begin{matrix}\frac{5}{19}\times 48+\frac{3}{19}\times 15\\-\frac{3}{19}\times 48+\frac{2}{19}\times 15\end{matrix}\right)$$

Lakukan penghitungannya.

$$\left(\begin{matrix}x\\y\end{matrix}\right)=\left(\begin{matrix}15\\-6\end{matrix}\right)$$

Ekstrak elemen matriks x dan y.

$$x=15,y=-6$$

Langkah Menggunakan Eliminasi

Sederhanakan persamaan pertama. Kalikan kedua sisi persamaan dengan 6, kelipatan perkalian terkecil dari 3,2.

$$2x-3y=48$$

Sederhanakan persamaan kedua. Kalikan kedua sisi persamaan dengan 15, kelipatan perkalian terkecil dari 5,3.

$$3x+5y=15$$

Agar dapat menyelesaikan dengan eliminasi, koefisien dari satu variabel harus sama dengan kedua persamaan sehingga variabel dapat disederhanakan saat satu persamaan dikurangi dengan persamaan lainnya.

$$2x-3y=48,3x+5y=15$$

Untuk menjadikan 2x dan 3x yang sama, kalikan semua suku pada tiap sisi dari persamaan pertama dengan 3 dan semua suku pada tiap sisi yang kedua dengan 2.

$$3\times 2x+3\left(-3\right)y=3\times 48,2\times 3x+2\times 5y=2\times 15$$

Sederhanakan.

$$6x-9y=144,6x+10y=30$$

Kurangi 6x+10y=30 dari 6x-9y=144 dengan mengurangi suku sejenis pada tiap sisi dari tanda sama dengan.

$$6x-6x-9y-10y=144-30$$

Tambahkan 6x sampai -6x. Suku 6x dan -6x saling membatalkan, meninggalkan sebuah persamaan dengan hanya satu variabel yang dapat diselesaikan.

$$-9y-10y=144-30$$

Tambahkan -9y sampai -10y.

$$-19y=144-30$$

Tambahkan 144 sampai -30.

$$-19y=114$$

Bagi kedua sisi dengan -19.

$$y=-6$$

Ganti -6 untuk y dalam 3x+5y=15. Karena hasil persamaan hanya berisi satu variabel, Anda dapat menyelesaikan x secara langsung.

$$3x+5\left(-6\right)=15$$

Kalikan 5 kali -6.

$$3x-30=15$$

Tambahkan 30 ke kedua sisi persamaan.

$$3x=45$$

Bagi kedua sisi dengan 3.

$$x=15$$

Sistem kini terselesaikan.

$$x=15,y=-6$$