Selesaikan {l}{k/L=100}{5k+50L=110}

$$\left. \begin{array} { l } { \frac { k } { L } = 100 } \\ { 5 k + 50 L = 110 } \end{array} \right.$$

Cari nilai k, L

$$k=20$$

$$L=\frac{1}{5}=0.2$$

Langkah-Langkah yang Menggunakan Substitusi

Sederhanakan persamaan pertama. Variabel L tidak boleh sama dengan 0 karena pembagian dengan nol tidak terdefinisi. Kalikan kedua sisi persamaan dengan L.

$$k=100L$$

Ganti 100L untuk k di persamaan lain, 5k+50L=110.

$$5\times 100L+50L=110$$

Kalikan 5 kali 100L.

$$500L+50L=110$$

Tambahkan 500L sampai 50L.

$$550L=110$$

Bagi kedua sisi dengan 550.

$$L=\frac{1}{5}$$

Ganti \frac{1}{5} untuk L dalam k=100L. Karena hasil persamaan hanya berisi satu variabel, Anda dapat menyelesaikan k secara langsung.

$$k=100\times \frac{1}{5}$$

Kalikan 100 kali \frac{1}{5}.

$$k=20$$

Sistem kini terselesaikan.

$$k=20,L=\frac{1}{5}$$

Langkah Menggunakan Matriks

Sederhanakan persamaan pertama. Variabel L tidak boleh sama dengan 0 karena pembagian dengan nol tidak terdefinisi. Kalikan kedua sisi persamaan dengan L.

$$k=100L$$

Kurangi 100L dari kedua sisi.

$$k-100L=0$$

Masukkan persamaan dalam bentuk standar lalu gunakan matriks untuk menyelesaikan sistem persamaannya.

$$k-100L=0,5k+50L=110$$

Tulis persamaan dalam bentuk matriks.

$$\left(\begin{matrix}1&-100\\5&50\end{matrix}\right)\left(\begin{matrix}k\\L\end{matrix}\right)=\left(\begin{matrix}0\\110\end{matrix}\right)$$

Kalikan persamaan sisi kiri dengan matriks terbalik \left(\begin{matrix}1&-100\\5&50\end{matrix}\right).

$$inverse(\left(\begin{matrix}1&-100\\5&50\end{matrix}\right))\left(\begin{matrix}1&-100\\5&50\end{matrix}\right)\left(\begin{matrix}k\\L\end{matrix}\right)=inverse(\left(\begin{matrix}1&-100\\5&50\end{matrix}\right))\left(\begin{matrix}0\\110\end{matrix}\right)$$

Hasil kali matriks dan invers-nya adalah matriks identitas.

$$\left(\begin{matrix}1&0\\0&1\end{matrix}\right)\left(\begin{matrix}k\\L\end{matrix}\right)=inverse(\left(\begin{matrix}1&-100\\5&50\end{matrix}\right))\left(\begin{matrix}0\\110\end{matrix}\right)$$

Kalikan matriks pada sisi kiri tanda sama dengan.

$$\left(\begin{matrix}k\\L\end{matrix}\right)=inverse(\left(\begin{matrix}1&-100\\5&50\end{matrix}\right))\left(\begin{matrix}0\\110\end{matrix}\right)$$

Untuk matriks 2\times 2 \left(\begin{matrix}a&b\\c&d\end{matrix}\right), matriks kebalikannya adalah \left(\begin{matrix}\frac{d}{ad-bc}&\frac{-b}{ad-bc}\\\frac{-c}{ad-bc}&\frac{a}{ad-bc}\end{matrix}\right), sehingga persamaan matriks dapat ditulis ulang sebagai masalah perkalian matriks.

$$\left(\begin{matrix}k\\L\end{matrix}\right)=\left(\begin{matrix}\frac{50}{50-\left(-100\times 5\right)}&-\frac{-100}{50-\left(-100\times 5\right)}\\-\frac{5}{50-\left(-100\times 5\right)}&\frac{1}{50-\left(-100\times 5\right)}\end{matrix}\right)\left(\begin{matrix}0\\110\end{matrix}\right)$$

Lakukan penghitungannya.

$$\left(\begin{matrix}k\\L\end{matrix}\right)=\left(\begin{matrix}\frac{1}{11}&\frac{2}{11}\\-\frac{1}{110}&\frac{1}{550}\end{matrix}\right)\left(\begin{matrix}0\\110\end{matrix}\right)$$

Kalikan matriks.

$$\left(\begin{matrix}k\\L\end{matrix}\right)=\left(\begin{matrix}\frac{2}{11}\times 110\\\frac{1}{550}\times 110\end{matrix}\right)$$

Lakukan penghitungannya.

$$\left(\begin{matrix}k\\L\end{matrix}\right)=\left(\begin{matrix}20\\\frac{1}{5}\end{matrix}\right)$$

Ekstrak elemen matriks k dan L.

$$k=20,L=\frac{1}{5}$$

Langkah Menggunakan Eliminasi

Sederhanakan persamaan pertama. Variabel L tidak boleh sama dengan 0 karena pembagian dengan nol tidak terdefinisi. Kalikan kedua sisi persamaan dengan L.

$$k=100L$$

Kurangi 100L dari kedua sisi.

$$k-100L=0$$

Agar dapat menyelesaikan dengan eliminasi, koefisien dari satu variabel harus sama dengan kedua persamaan sehingga variabel dapat disederhanakan saat satu persamaan dikurangi dengan persamaan lainnya.

$$k-100L=0,5k+50L=110$$

Untuk menjadikan k dan 5k yang sama, kalikan semua suku pada tiap sisi dari persamaan pertama dengan 5 dan semua suku pada tiap sisi yang kedua dengan 1.

$$5k+5\left(-100\right)L=0,5k+50L=110$$

Sederhanakan.

$$5k-500L=0,5k+50L=110$$

Kurangi 5k+50L=110 dari 5k-500L=0 dengan mengurangi suku sejenis pada tiap sisi dari tanda sama dengan.

$$5k-5k-500L-50L=-110$$

Tambahkan 5k sampai -5k. Suku 5k dan -5k saling membatalkan, meninggalkan sebuah persamaan dengan hanya satu variabel yang dapat diselesaikan.

$$-500L-50L=-110$$

Tambahkan -500L sampai -50L.

$$-550L=-110$$

Bagi kedua sisi dengan -550.

$$L=\frac{1}{5}$$

Ganti \frac{1}{5} untuk L dalam 5k+50L=110. Karena hasil persamaan hanya berisi satu variabel, Anda dapat menyelesaikan k secara langsung.

$$5k+50\times \frac{1}{5}=110$$

Kalikan 50 kali \frac{1}{5}.

$$5k+10=110$$

Kurangi 10 dari kedua sisi persamaan.

$$5k=100$$

Bagi kedua sisi dengan 5.

$$k=20$$

Sistem kini terselesaikan.

$$k=20,L=\frac{1}{5}$$