Selesaikan {c}{x+y=9}{4x+5y=39}

$$\left. \begin{array} { c } { x + y = 9 } \\ { 4 x + 5 y = 39 } \end{array} \right.$$

Cari nilai x, y

$$x=6$$

$$y=3$$

Langkah-Langkah yang Menggunakan Substitusi

Untuk menyelesaikan sepasang persamaan dengan substitusi, terlebih dahulu selesaikan satu persamaan untuk satu variabel. Lalu ganti hasil untuk variabel tersebut di persamaan yang lain.

$$x+y=9,4x+5y=39$$

Pilih salah satu persamaan dan temukan nilai x dengan memisahkan x di sisi kiri tanda sama dengan.

$$x+y=9$$

Kurangi y dari kedua sisi persamaan.

$$x=-y+9$$

Ganti -y+9 untuk x di persamaan lain, 4x+5y=39.

$$4\left(-y+9\right)+5y=39$$

Kalikan 4 kali -y+9.

$$-4y+36+5y=39$$

Tambahkan -4y sampai 5y.

$$y+36=39$$

Kurangi 36 dari kedua sisi persamaan.

$$y=3$$

Ganti 3 untuk y dalam x=-y+9. Karena hasil persamaan hanya berisi satu variabel, Anda dapat menyelesaikan x secara langsung.

$$x=-3+9$$

Tambahkan 9 sampai -3.

$$x=6$$

Sistem kini terselesaikan.

$$x=6,y=3$$

Langkah Menggunakan Matriks

Masukkan persamaan dalam bentuk standar lalu gunakan matriks untuk menyelesaikan sistem persamaannya.

$$x+y=9,4x+5y=39$$

Tulis persamaan dalam bentuk matriks.

$$\left(\begin{matrix}1&1\\4&5\end{matrix}\right)\left(\begin{matrix}x\\y\end{matrix}\right)=\left(\begin{matrix}9\\39\end{matrix}\right)$$

Kalikan persamaan sisi kiri dengan matriks terbalik \left(\begin{matrix}1&1\\4&5\end{matrix}\right).

$$inverse(\left(\begin{matrix}1&1\\4&5\end{matrix}\right))\left(\begin{matrix}1&1\\4&5\end{matrix}\right)\left(\begin{matrix}x\\y\end{matrix}\right)=inverse(\left(\begin{matrix}1&1\\4&5\end{matrix}\right))\left(\begin{matrix}9\\39\end{matrix}\right)$$

Hasil kali matriks dan invers-nya adalah matriks identitas.

$$\left(\begin{matrix}1&0\\0&1\end{matrix}\right)\left(\begin{matrix}x\\y\end{matrix}\right)=inverse(\left(\begin{matrix}1&1\\4&5\end{matrix}\right))\left(\begin{matrix}9\\39\end{matrix}\right)$$

Kalikan matriks pada sisi kiri tanda sama dengan.

$$\left(\begin{matrix}x\\y\end{matrix}\right)=inverse(\left(\begin{matrix}1&1\\4&5\end{matrix}\right))\left(\begin{matrix}9\\39\end{matrix}\right)$$

Untuk matriks 2\times 2 \left(\begin{matrix}a&b\\c&d\end{matrix}\right), matriks kebalikannya adalah \left(\begin{matrix}\frac{d}{ad-bc}&\frac{-b}{ad-bc}\\\frac{-c}{ad-bc}&\frac{a}{ad-bc}\end{matrix}\right), sehingga persamaan matriks dapat ditulis ulang sebagai masalah perkalian matriks.

$$\left(\begin{matrix}x\\y\end{matrix}\right)=\left(\begin{matrix}\frac{5}{5-4}&-\frac{1}{5-4}\\-\frac{4}{5-4}&\frac{1}{5-4}\end{matrix}\right)\left(\begin{matrix}9\\39\end{matrix}\right)$$

Lakukan penghitungannya.

$$\left(\begin{matrix}x\\y\end{matrix}\right)=\left(\begin{matrix}5&-1\\-4&1\end{matrix}\right)\left(\begin{matrix}9\\39\end{matrix}\right)$$

Kalikan matriks.

$$\left(\begin{matrix}x\\y\end{matrix}\right)=\left(\begin{matrix}5\times 9-39\\-4\times 9+39\end{matrix}\right)$$

Lakukan penghitungannya.

$$\left(\begin{matrix}x\\y\end{matrix}\right)=\left(\begin{matrix}6\\3\end{matrix}\right)$$

Ekstrak elemen matriks x dan y.

$$x=6,y=3$$

Langkah Menggunakan Eliminasi

Agar dapat menyelesaikan dengan eliminasi, koefisien dari satu variabel harus sama dengan kedua persamaan sehingga variabel dapat disederhanakan saat satu persamaan dikurangi dengan persamaan lainnya.

$$x+y=9,4x+5y=39$$

Untuk menjadikan x dan 4x yang sama, kalikan semua suku pada tiap sisi dari persamaan pertama dengan 4 dan semua suku pada tiap sisi yang kedua dengan 1.

$$4x+4y=4\times 9,4x+5y=39$$

Sederhanakan.

$$4x+4y=36,4x+5y=39$$

Kurangi 4x+5y=39 dari 4x+4y=36 dengan mengurangi suku sejenis pada tiap sisi dari tanda sama dengan.

$$4x-4x+4y-5y=36-39$$

Tambahkan 4x sampai -4x. Suku 4x dan -4x saling membatalkan, meninggalkan sebuah persamaan dengan hanya satu variabel yang dapat diselesaikan.

$$4y-5y=36-39$$

Tambahkan 4y sampai -5y.

$$-y=36-39$$

Tambahkan 36 sampai -39.

$$-y=-3$$

Bagi kedua sisi dengan -1.

$$y=3$$

Ganti 3 untuk y dalam 4x+5y=39. Karena hasil persamaan hanya berisi satu variabel, Anda dapat menyelesaikan x secara langsung.

$$4x+5\times 3=39$$

Kalikan 5 kali 3.

$$4x+15=39$$

Kurangi 15 dari kedua sisi persamaan.

$$4x=24$$

Bagi kedua sisi dengan 4.

$$x=6$$

Sistem kini terselesaikan.

$$x=6,y=3$$