Selesaikan {c}{x+y=27}{.25x+.05y=3.35}

$$\left. \begin{array} { c } { x + y = 27 } \\ { .25 x + .05 y = 3.35 } \end{array} \right.$$

Cari nilai x, y

$$x=10$$

$$y=17$$

Langkah-Langkah yang Menggunakan Substitusi

Untuk menyelesaikan sepasang persamaan dengan substitusi, terlebih dahulu selesaikan satu persamaan untuk satu variabel. Lalu ganti hasil untuk variabel tersebut di persamaan yang lain.

$$x+y=27,0.25x+0.05y=3.35$$

Pilih salah satu persamaan dan temukan nilai x dengan memisahkan x di sisi kiri tanda sama dengan.

$$x+y=27$$

Kurangi y dari kedua sisi persamaan.

$$x=-y+27$$

Ganti -y+27 untuk x di persamaan lain, 0.25x+0.05y=3.35.

$$0.25\left(-y+27\right)+0.05y=3.35$$

Kalikan 0.25 kali -y+27.

$$-0.25y+6.75+0.05y=3.35$$

Tambahkan -\frac{y}{4} sampai \frac{y}{20}.

$$-0.2y+6.75=3.35$$

Kurangi 6.75 dari kedua sisi persamaan.

$$-0.2y=-3.4$$

Kalikan kedua sisi dengan -5.

$$y=17$$

Ganti 17 untuk y dalam x=-y+27. Karena hasil persamaan hanya berisi satu variabel, Anda dapat menyelesaikan x secara langsung.

$$x=-17+27$$

Tambahkan 27 sampai -17.

$$x=10$$

Sistem kini terselesaikan.

$$x=10,y=17$$

Langkah Menggunakan Matriks

Masukkan persamaan dalam bentuk standar lalu gunakan matriks untuk menyelesaikan sistem persamaannya.

$$x+y=27,0.25x+0.05y=3.35$$

Tulis persamaan dalam bentuk matriks.

$$\left(\begin{matrix}1&1\\0.25&0.05\end{matrix}\right)\left(\begin{matrix}x\\y\end{matrix}\right)=\left(\begin{matrix}27\\3.35\end{matrix}\right)$$

Kalikan persamaan sisi kiri dengan matriks terbalik \left(\begin{matrix}1&1\\0.25&0.05\end{matrix}\right).

$$inverse(\left(\begin{matrix}1&1\\0.25&0.05\end{matrix}\right))\left(\begin{matrix}1&1\\0.25&0.05\end{matrix}\right)\left(\begin{matrix}x\\y\end{matrix}\right)=inverse(\left(\begin{matrix}1&1\\0.25&0.05\end{matrix}\right))\left(\begin{matrix}27\\3.35\end{matrix}\right)$$

Hasil kali matriks dan invers-nya adalah matriks identitas.

$$\left(\begin{matrix}1&0\\0&1\end{matrix}\right)\left(\begin{matrix}x\\y\end{matrix}\right)=inverse(\left(\begin{matrix}1&1\\0.25&0.05\end{matrix}\right))\left(\begin{matrix}27\\3.35\end{matrix}\right)$$

Kalikan matriks pada sisi kiri tanda sama dengan.

$$\left(\begin{matrix}x\\y\end{matrix}\right)=inverse(\left(\begin{matrix}1&1\\0.25&0.05\end{matrix}\right))\left(\begin{matrix}27\\3.35\end{matrix}\right)$$

Untuk matriks 2\times 2 \left(\begin{matrix}a&b\\c&d\end{matrix}\right), matriks kebalikannya adalah \left(\begin{matrix}\frac{d}{ad-bc}&\frac{-b}{ad-bc}\\\frac{-c}{ad-bc}&\frac{a}{ad-bc}\end{matrix}\right), sehingga persamaan matriks dapat ditulis ulang sebagai masalah perkalian matriks.

$$\left(\begin{matrix}x\\y\end{matrix}\right)=\left(\begin{matrix}\frac{0.05}{0.05-0.25}&-\frac{1}{0.05-0.25}\\-\frac{0.25}{0.05-0.25}&\frac{1}{0.05-0.25}\end{matrix}\right)\left(\begin{matrix}27\\3.35\end{matrix}\right)$$

Lakukan penghitungannya.

$$\left(\begin{matrix}x\\y\end{matrix}\right)=\left(\begin{matrix}-0.25&5\\1.25&-5\end{matrix}\right)\left(\begin{matrix}27\\3.35\end{matrix}\right)$$

Kalikan matriks.

$$\left(\begin{matrix}x\\y\end{matrix}\right)=\left(\begin{matrix}-0.25\times 27+5\times 3.35\\1.25\times 27-5\times 3.35\end{matrix}\right)$$

Lakukan penghitungannya.

$$\left(\begin{matrix}x\\y\end{matrix}\right)=\left(\begin{matrix}10\\17\end{matrix}\right)$$

Ekstrak elemen matriks x dan y.

$$x=10,y=17$$

Langkah Menggunakan Eliminasi

Agar dapat menyelesaikan dengan eliminasi, koefisien dari satu variabel harus sama dengan kedua persamaan sehingga variabel dapat disederhanakan saat satu persamaan dikurangi dengan persamaan lainnya.

$$x+y=27,0.25x+0.05y=3.35$$

Untuk menjadikan x dan \frac{x}{4} yang sama, kalikan semua suku pada tiap sisi dari persamaan pertama dengan 0.25 dan semua suku pada tiap sisi yang kedua dengan 1.

$$0.25x+0.25y=0.25\times 27,0.25x+0.05y=3.35$$

Sederhanakan.

$$0.25x+0.25y=6.75,0.25x+0.05y=3.35$$

Kurangi 0.25x+0.05y=3.35 dari 0.25x+0.25y=6.75 dengan mengurangi suku sejenis pada tiap sisi dari tanda sama dengan.

$$0.25x-0.25x+0.25y-0.05y=6.75-3.35$$

Tambahkan \frac{x}{4} sampai -\frac{x}{4}. Suku \frac{x}{4} dan -\frac{x}{4} saling membatalkan, meninggalkan sebuah persamaan dengan hanya satu variabel yang dapat diselesaikan.

$$0.25y-0.05y=6.75-3.35$$

Tambahkan \frac{y}{4} sampai -\frac{y}{20}.

$$0.2y=6.75-3.35$$

Tambahkan 6.75 ke -3.35 dengan mencari faktor persekutuan dan menambahkan pembilang. Lalu kurangi pecahan ke suku terkecil jika memungkinkan.

$$0.2y=3.4$$

Kalikan kedua sisi dengan 5.

$$y=17$$

Ganti 17 untuk y dalam 0.25x+0.05y=3.35. Karena hasil persamaan hanya berisi satu variabel, Anda dapat menyelesaikan x secara langsung.

$$0.25x+0.05\times 17=3.35$$

Kalikan 0.05 kali 17.

$$0.25x+0.85=3.35$$

Kurangi 0.85 dari kedua sisi persamaan.

$$0.25x=2.5$$

Kalikan kedua sisi dengan 4.

$$x=10$$

Sistem kini terselesaikan.

$$x=10,y=17$$