Selesaikan {c}{x+3y=14}{4x-y=4}

$$\left. \begin{array} { c } { x + 3 y = 14 } \\ { 4 x - y = 4 } \end{array} \right.$$

Cari nilai x, y

$$x=2$$

$$y=4$$

Langkah-Langkah yang Menggunakan Substitusi

Untuk menyelesaikan sepasang persamaan dengan substitusi, terlebih dahulu selesaikan satu persamaan untuk satu variabel. Lalu ganti hasil untuk variabel tersebut di persamaan yang lain.

$$x+3y=14,4x-y=4$$

Pilih salah satu persamaan dan temukan nilai x dengan memisahkan x di sisi kiri tanda sama dengan.

$$x+3y=14$$

Kurangi 3y dari kedua sisi persamaan.

$$x=-3y+14$$

Ganti -3y+14 untuk x di persamaan lain, 4x-y=4.

$$4\left(-3y+14\right)-y=4$$

Kalikan 4 kali -3y+14.

$$-12y+56-y=4$$

Tambahkan -12y sampai -y.

$$-13y+56=4$$

Kurangi 56 dari kedua sisi persamaan.

$$-13y=-52$$

Bagi kedua sisi dengan -13.

$$y=4$$

Ganti 4 untuk y dalam x=-3y+14. Karena hasil persamaan hanya berisi satu variabel, Anda dapat menyelesaikan x secara langsung.

$$x=-3\times 4+14$$

Kalikan -3 kali 4.

$$x=-12+14$$

Tambahkan 14 sampai -12.

$$x=2$$

Sistem kini terselesaikan.

$$x=2,y=4$$

Langkah Menggunakan Matriks

Masukkan persamaan dalam bentuk standar lalu gunakan matriks untuk menyelesaikan sistem persamaannya.

$$x+3y=14,4x-y=4$$

Tulis persamaan dalam bentuk matriks.

$$\left(\begin{matrix}1&3\\4&-1\end{matrix}\right)\left(\begin{matrix}x\\y\end{matrix}\right)=\left(\begin{matrix}14\\4\end{matrix}\right)$$

Kalikan persamaan sisi kiri dengan matriks terbalik \left(\begin{matrix}1&3\\4&-1\end{matrix}\right).

$$inverse(\left(\begin{matrix}1&3\\4&-1\end{matrix}\right))\left(\begin{matrix}1&3\\4&-1\end{matrix}\right)\left(\begin{matrix}x\\y\end{matrix}\right)=inverse(\left(\begin{matrix}1&3\\4&-1\end{matrix}\right))\left(\begin{matrix}14\\4\end{matrix}\right)$$

Hasil kali matriks dan invers-nya adalah matriks identitas.

$$\left(\begin{matrix}1&0\\0&1\end{matrix}\right)\left(\begin{matrix}x\\y\end{matrix}\right)=inverse(\left(\begin{matrix}1&3\\4&-1\end{matrix}\right))\left(\begin{matrix}14\\4\end{matrix}\right)$$

Kalikan matriks pada sisi kiri tanda sama dengan.

$$\left(\begin{matrix}x\\y\end{matrix}\right)=inverse(\left(\begin{matrix}1&3\\4&-1\end{matrix}\right))\left(\begin{matrix}14\\4\end{matrix}\right)$$

Untuk matriks 2\times 2 \left(\begin{matrix}a&b\\c&d\end{matrix}\right), matriks kebalikannya adalah \left(\begin{matrix}\frac{d}{ad-bc}&\frac{-b}{ad-bc}\\\frac{-c}{ad-bc}&\frac{a}{ad-bc}\end{matrix}\right), sehingga persamaan matriks dapat ditulis ulang sebagai masalah perkalian matriks.

$$\left(\begin{matrix}x\\y\end{matrix}\right)=\left(\begin{matrix}-\frac{1}{-1-3\times 4}&-\frac{3}{-1-3\times 4}\\-\frac{4}{-1-3\times 4}&\frac{1}{-1-3\times 4}\end{matrix}\right)\left(\begin{matrix}14\\4\end{matrix}\right)$$

Lakukan penghitungannya.

$$\left(\begin{matrix}x\\y\end{matrix}\right)=\left(\begin{matrix}\frac{1}{13}&\frac{3}{13}\\\frac{4}{13}&-\frac{1}{13}\end{matrix}\right)\left(\begin{matrix}14\\4\end{matrix}\right)$$

Kalikan matriks.

$$\left(\begin{matrix}x\\y\end{matrix}\right)=\left(\begin{matrix}\frac{1}{13}\times 14+\frac{3}{13}\times 4\\\frac{4}{13}\times 14-\frac{1}{13}\times 4\end{matrix}\right)$$

Lakukan penghitungannya.

$$\left(\begin{matrix}x\\y\end{matrix}\right)=\left(\begin{matrix}2\\4\end{matrix}\right)$$

Ekstrak elemen matriks x dan y.

$$x=2,y=4$$

Langkah Menggunakan Eliminasi

Agar dapat menyelesaikan dengan eliminasi, koefisien dari satu variabel harus sama dengan kedua persamaan sehingga variabel dapat disederhanakan saat satu persamaan dikurangi dengan persamaan lainnya.

$$x+3y=14,4x-y=4$$

Untuk menjadikan x dan 4x yang sama, kalikan semua suku pada tiap sisi dari persamaan pertama dengan 4 dan semua suku pada tiap sisi yang kedua dengan 1.

$$4x+4\times 3y=4\times 14,4x-y=4$$

Sederhanakan.

$$4x+12y=56,4x-y=4$$

Kurangi 4x-y=4 dari 4x+12y=56 dengan mengurangi suku sejenis pada tiap sisi dari tanda sama dengan.

$$4x-4x+12y+y=56-4$$

Tambahkan 4x sampai -4x. Suku 4x dan -4x saling membatalkan, meninggalkan sebuah persamaan dengan hanya satu variabel yang dapat diselesaikan.

$$12y+y=56-4$$

Tambahkan 12y sampai y.

$$13y=56-4$$

Tambahkan 56 sampai -4.

$$13y=52$$

Bagi kedua sisi dengan 13.

$$y=4$$

Ganti 4 untuk y dalam 4x-y=4. Karena hasil persamaan hanya berisi satu variabel, Anda dapat menyelesaikan x secara langsung.

$$4x-4=4$$

Tambahkan 4 ke kedua sisi persamaan.

$$4x=8$$

Bagi kedua sisi dengan 4.

$$x=2$$

Sistem kini terselesaikan.

$$x=2,y=4$$