Selesaikan {c}{3/2a+b=1}{a+b/2=7}

$$\left. \begin{array} { c } { \frac { 3 } { 2 } a + b = 1 } \\ { a + \frac { b } { 2 } = 7 } \end{array} \right.$$

Cari nilai a, b

$$a=26$$

$$b=-38$$

Langkah-Langkah yang Menggunakan Substitusi

Untuk menyelesaikan sepasang persamaan dengan substitusi, terlebih dahulu selesaikan satu persamaan untuk satu variabel. Lalu ganti hasil untuk variabel tersebut di persamaan yang lain.

$$\frac{3}{2}a+b=1,a+\frac{1}{2}b=7$$

Pilih salah satu persamaan dan temukan nilai a dengan memisahkan a di sisi kiri tanda sama dengan.

$$\frac{3}{2}a+b=1$$

Kurangi b dari kedua sisi persamaan.

$$\frac{3}{2}a=-b+1$$

Bagi kedua sisi persamaan dengan \frac{3}{2}, yang sama dengan mengalikan kedua sisi dengan resiprokal dari pecahan.

$$a=\frac{2}{3}\left(-b+1\right)$$

Kalikan \frac{2}{3} kali -b+1.

$$a=-\frac{2}{3}b+\frac{2}{3}$$

Ganti \frac{-2b+2}{3} untuk a di persamaan lain, a+\frac{1}{2}b=7.

$$-\frac{2}{3}b+\frac{2}{3}+\frac{1}{2}b=7$$

Tambahkan -\frac{2b}{3} sampai \frac{b}{2}.

$$-\frac{1}{6}b+\frac{2}{3}=7$$

Kurangi \frac{2}{3} dari kedua sisi persamaan.

$$-\frac{1}{6}b=\frac{19}{3}$$

Kalikan kedua sisi dengan -6.

$$b=-38$$

Ganti -38 untuk b dalam a=-\frac{2}{3}b+\frac{2}{3}. Karena hasil persamaan hanya berisi satu variabel, Anda dapat menyelesaikan a secara langsung.

$$a=-\frac{2}{3}\left(-38\right)+\frac{2}{3}$$

Kalikan -\frac{2}{3} kali -38.

$$a=\frac{76+2}{3}$$

Tambahkan \frac{2}{3} ke \frac{76}{3} dengan mencari faktor persekutuan dan menambahkan pembilang. Lalu kurangi pecahan ke suku terkecil jika memungkinkan.

$$a=26$$

Sistem kini terselesaikan.

$$a=26,b=-38$$

Langkah Menggunakan Matriks

Masukkan persamaan dalam bentuk standar lalu gunakan matriks untuk menyelesaikan sistem persamaannya.

$$\frac{3}{2}a+b=1,a+\frac{1}{2}b=7$$

Tulis persamaan dalam bentuk matriks.

$$\left(\begin{matrix}\frac{3}{2}&1\\1&\frac{1}{2}\end{matrix}\right)\left(\begin{matrix}a\\b\end{matrix}\right)=\left(\begin{matrix}1\\7\end{matrix}\right)$$

Kalikan persamaan sisi kiri dengan matriks terbalik \left(\begin{matrix}\frac{3}{2}&1\\1&\frac{1}{2}\end{matrix}\right).

$$inverse(\left(\begin{matrix}\frac{3}{2}&1\\1&\frac{1}{2}\end{matrix}\right))\left(\begin{matrix}\frac{3}{2}&1\\1&\frac{1}{2}\end{matrix}\right)\left(\begin{matrix}a\\b\end{matrix}\right)=inverse(\left(\begin{matrix}\frac{3}{2}&1\\1&\frac{1}{2}\end{matrix}\right))\left(\begin{matrix}1\\7\end{matrix}\right)$$

Hasil kali matriks dan invers-nya adalah matriks identitas.

$$\left(\begin{matrix}1&0\\0&1\end{matrix}\right)\left(\begin{matrix}a\\b\end{matrix}\right)=inverse(\left(\begin{matrix}\frac{3}{2}&1\\1&\frac{1}{2}\end{matrix}\right))\left(\begin{matrix}1\\7\end{matrix}\right)$$

Kalikan matriks pada sisi kiri tanda sama dengan.

$$\left(\begin{matrix}a\\b\end{matrix}\right)=inverse(\left(\begin{matrix}\frac{3}{2}&1\\1&\frac{1}{2}\end{matrix}\right))\left(\begin{matrix}1\\7\end{matrix}\right)$$

Untuk matriks 2\times 2 \left(\begin{matrix}a&b\\c&d\end{matrix}\right), matriks kebalikannya adalah \left(\begin{matrix}\frac{d}{ad-bc}&\frac{-b}{ad-bc}\\\frac{-c}{ad-bc}&\frac{a}{ad-bc}\end{matrix}\right), sehingga persamaan matriks dapat ditulis ulang sebagai masalah perkalian matriks.

$$\left(\begin{matrix}a\\b\end{matrix}\right)=\left(\begin{matrix}\frac{\frac{1}{2}}{\frac{3}{2}\times \frac{1}{2}-1}&-\frac{1}{\frac{3}{2}\times \frac{1}{2}-1}\\-\frac{1}{\frac{3}{2}\times \frac{1}{2}-1}&\frac{\frac{3}{2}}{\frac{3}{2}\times \frac{1}{2}-1}\end{matrix}\right)\left(\begin{matrix}1\\7\end{matrix}\right)$$

Lakukan penghitungannya.

$$\left(\begin{matrix}a\\b\end{matrix}\right)=\left(\begin{matrix}-2&4\\4&-6\end{matrix}\right)\left(\begin{matrix}1\\7\end{matrix}\right)$$

Kalikan matriks.

$$\left(\begin{matrix}a\\b\end{matrix}\right)=\left(\begin{matrix}-2+4\times 7\\4-6\times 7\end{matrix}\right)$$

Lakukan penghitungannya.

$$\left(\begin{matrix}a\\b\end{matrix}\right)=\left(\begin{matrix}26\\-38\end{matrix}\right)$$

Ekstrak elemen matriks a dan b.

$$a=26,b=-38$$

Langkah Menggunakan Eliminasi

Agar dapat menyelesaikan dengan eliminasi, koefisien dari satu variabel harus sama dengan kedua persamaan sehingga variabel dapat disederhanakan saat satu persamaan dikurangi dengan persamaan lainnya.

$$\frac{3}{2}a+b=1,a+\frac{1}{2}b=7$$

Untuk menjadikan \frac{3a}{2} dan a yang sama, kalikan semua suku pada tiap sisi dari persamaan pertama dengan 1 dan semua suku pada tiap sisi yang kedua dengan \frac{3}{2}.

$$\frac{3}{2}a+b=1,\frac{3}{2}a+\frac{3}{2}\times \frac{1}{2}b=\frac{3}{2}\times 7$$

Sederhanakan.

$$\frac{3}{2}a+b=1,\frac{3}{2}a+\frac{3}{4}b=\frac{21}{2}$$

Kurangi \frac{3}{2}a+\frac{3}{4}b=\frac{21}{2} dari \frac{3}{2}a+b=1 dengan mengurangi suku sejenis pada tiap sisi dari tanda sama dengan.

$$\frac{3}{2}a-\frac{3}{2}a+b-\frac{3}{4}b=1-\frac{21}{2}$$

Tambahkan \frac{3a}{2} sampai -\frac{3a}{2}. Suku \frac{3a}{2} dan -\frac{3a}{2} saling membatalkan, meninggalkan sebuah persamaan dengan hanya satu variabel yang dapat diselesaikan.

$$b-\frac{3}{4}b=1-\frac{21}{2}$$

Tambahkan b sampai -\frac{3b}{4}.

$$\frac{1}{4}b=1-\frac{21}{2}$$

Tambahkan 1 sampai -\frac{21}{2}.

$$\frac{1}{4}b=-\frac{19}{2}$$

Kalikan kedua sisi dengan 4.

$$b=-38$$

Ganti -38 untuk b dalam a+\frac{1}{2}b=7. Karena hasil persamaan hanya berisi satu variabel, Anda dapat menyelesaikan a secara langsung.

$$a+\frac{1}{2}\left(-38\right)=7$$

Kalikan \frac{1}{2} kali -38.

$$a-19=7$$

Tambahkan 19 ke kedua sisi persamaan.

$$a=26$$

Sistem kini terselesaikan.

$$a=26,b=-38$$