Selesaikan Matrix

$$\left( \begin{array} { l l } { 2 } & { 8 } \\ { 6 } & { 20 } \end{array} \right) \left( \begin{array} { l } { x } \\ { y } \end{array} \right) = \left( \begin{array} { c } { - 6 } \\ { - 15 } \end{array} \right)$$

Cari nilai x, y

$$x=0$$

$$y=-\frac{3}{4}=-0,75$$

Langkah-Langkah yang Menggunakan Substitusi

Untuk menyelesaikan sepasang persamaan dengan substitusi, terlebih dahulu selesaikan satu persamaan untuk satu variabel. Lalu ganti hasil untuk variabel tersebut di persamaan yang lain.

$$2x+8y=-6,6x+20y=-15$$

Pilih salah satu persamaan dan temukan nilai x dengan memisahkan x di sisi kiri tanda sama dengan.

$$2x+8y=-6$$

Kurangi 8y dari kedua sisi persamaan.

$$2x=-8y-6$$

Bagi kedua sisi dengan 2.

$$x=\frac{1}{2}\left(-8y-6\right)$$

Kalikan \frac{1}{2} kali -8y-6.

$$x=-4y-3$$

Ganti -4y-3 untuk x di persamaan lain, 6x+20y=-15.

$$6\left(-4y-3\right)+20y=-15$$

Kalikan 6 kali -4y-3.

$$-24y-18+20y=-15$$

Tambahkan -24y sampai 20y.

$$-4y-18=-15$$

Tambahkan 18 ke kedua sisi persamaan.

$$-4y=3$$

Bagi kedua sisi dengan -4.

$$y=-\frac{3}{4}$$

Ganti -\frac{3}{4} untuk y dalam x=-4y-3. Karena hasil persamaan hanya berisi satu variabel, Anda dapat menyelesaikan x secara langsung.

$$x=-4\left(-\frac{3}{4}\right)-3$$

Kalikan -4 kali -\frac{3}{4}.

$$x=3-3$$

Tambahkan -3 sampai 3.

$$x=0$$

Sistem kini terselesaikan.

$$x=0,y=-\frac{3}{4}$$

Langkah Menggunakan Matriks

Masukkan persamaan dalam bentuk standar lalu gunakan matriks untuk menyelesaikan sistem persamaannya.

$$2x+8y=-6,6x+20y=-15$$

Tulis persamaan dalam bentuk matriks.

$$\left(\begin{matrix}2&8\\6&20\end{matrix}\right)\left(\begin{matrix}x\\y\end{matrix}\right)=\left(\begin{matrix}-6\\-15\end{matrix}\right)$$

Kalikan persamaan sisi kiri dengan matriks terbalik \left(\begin{matrix}2&8\\6&20\end{matrix}\right).

$$inverse(\left(\begin{matrix}2&8\\6&20\end{matrix}\right))\left(\begin{matrix}2&8\\6&20\end{matrix}\right)\left(\begin{matrix}x\\y\end{matrix}\right)=inverse(\left(\begin{matrix}2&8\\6&20\end{matrix}\right))\left(\begin{matrix}-6\\-15\end{matrix}\right)$$

Hasil kali matriks dan invers-nya adalah matriks identitas.

$$\left(\begin{matrix}1&0\\0&1\end{matrix}\right)\left(\begin{matrix}x\\y\end{matrix}\right)=inverse(\left(\begin{matrix}2&8\\6&20\end{matrix}\right))\left(\begin{matrix}-6\\-15\end{matrix}\right)$$

Kalikan matriks pada sisi kiri tanda sama dengan.

$$\left(\begin{matrix}x\\y\end{matrix}\right)=inverse(\left(\begin{matrix}2&8\\6&20\end{matrix}\right))\left(\begin{matrix}-6\\-15\end{matrix}\right)$$

Untuk matriks 2\times 2 \left(\begin{matrix}a&b\\c&d\end{matrix}\right), matriks kebalikannya adalah \left(\begin{matrix}\frac{d}{ad-bc}&\frac{-b}{ad-bc}\\\frac{-c}{ad-bc}&\frac{a}{ad-bc}\end{matrix}\right), maka persamaan matriks dapat ditulis ulang sebagai persoalan perkalian matriks.

$$\left(\begin{matrix}x\\y\end{matrix}\right)=\left(\begin{matrix}\frac{20}{2\times 20-8\times 6}&-\frac{8}{2\times 20-8\times 6}\\-\frac{6}{2\times 20-8\times 6}&\frac{2}{2\times 20-8\times 6}\end{matrix}\right)\left(\begin{matrix}-6\\-15\end{matrix}\right)$$

Lakukan penghitungannya.

$$\left(\begin{matrix}x\\y\end{matrix}\right)=\left(\begin{matrix}-\frac{5}{2}&1\\\frac{3}{4}&-\frac{1}{4}\end{matrix}\right)\left(\begin{matrix}-6\\-15\end{matrix}\right)$$

Kalikan matriks.

$$\left(\begin{matrix}x\\y\end{matrix}\right)=\left(\begin{matrix}-\frac{5}{2}\left(-6\right)-15\\\frac{3}{4}\left(-6\right)-\frac{1}{4}\left(-15\right)\end{matrix}\right)$$

Lakukan penghitungannya.

$$\left(\begin{matrix}x\\y\end{matrix}\right)=\left(\begin{matrix}0\\-\frac{3}{4}\end{matrix}\right)$$

Ekstrak elemen matriks x dan y.

$$x=0,y=-\frac{3}{4}$$

Langkah Menggunakan Eliminasi

Agar dapat menyelesaikan dengan eliminasi, koefisien dari satu variabel harus sama dengan kedua persamaan sehingga variabel dapat disederhanakan saat satu persamaan dikurangi dengan persamaan lainnya.

$$2x+8y=-6,6x+20y=-15$$

Untuk menjadikan 2x dan 6x yang sama, kalikan semua suku pada tiap sisi dari persamaan pertama dengan 6 dan semua suku pada tiap sisi yang kedua dengan 2.

$$6\times 2x+6\times 8y=6\left(-6\right),2\times 6x+2\times 20y=2\left(-15\right)$$

Sederhanakan.

$$12x+48y=-36,12x+40y=-30$$

Kurangi 12x+40y=-30 dari 12x+48y=-36 dengan mengurangi suku sejenis pada tiap sisi dari tanda sama dengan.

$$12x-12x+48y-40y=-36+30$$

Tambahkan 12x sampai -12x. Istilah 12x dan -12x dibatalkan, meninggalkan persamaan dengan hanya satu variabel yang dapat diselesaikan.

$$48y-40y=-36+30$$

Tambahkan 48y sampai -40y.

$$8y=-36+30$$

Tambahkan -36 sampai 30.

$$8y=-6$$

Bagi kedua sisi dengan 8.

$$y=-\frac{3}{4}$$

Ganti -\frac{3}{4} untuk y dalam 6x+20y=-15. Karena hasil persamaan hanya berisi satu variabel, Anda dapat menyelesaikan x secara langsung.

$$6x+20\left(-\frac{3}{4}\right)=-15$$

Kalikan 20 kali -\frac{3}{4}.

$$6x-15=-15$$

Tambahkan 15 ke kedua sisi persamaan.

$$6x=0$$

Bagi kedua sisi dengan 6.

$$x=0$$

Sistem kini terselesaikan.

$$x=0,y=-\frac{3}{4}$$