Selesaikan {l}{y-2x=4}{2x+3y=28}

$$\left\{ \begin{array} { l } { y - 2 x = 4 } \\ { 2 x + 3 y = 28 } \end{array} \right\}$$

Cari nilai y, x

$$x=2$$

$$y=8$$

Langkah-Langkah yang Menggunakan Substitusi

Untuk menyelesaikan sepasang persamaan dengan substitusi, terlebih dahulu selesaikan satu persamaan untuk satu variabel. Lalu ganti hasil untuk variabel tersebut di persamaan yang lain.

$$y-2x=4,3y+2x=28$$

Pilih salah satu persamaan dan temukan nilai y dengan memisahkan y di sisi kiri tanda sama dengan.

$$y-2x=4$$

Tambahkan 2x ke kedua sisi persamaan.

$$y=2x+4$$

Ganti 4+2x untuk y di persamaan lain, 3y+2x=28.

$$3\left(2x+4\right)+2x=28$$

Kalikan 3 kali 4+2x.

$$6x+12+2x=28$$

Tambahkan 6x sampai 2x.

$$8x+12=28$$

Kurangi 12 dari kedua sisi persamaan.

$$8x=16$$

Bagi kedua sisi dengan 8.

$$x=2$$

Ganti 2 untuk x dalam y=2x+4. Karena hasil persamaan hanya berisi satu variabel, Anda dapat menyelesaikan y secara langsung.

$$y=2\times 2+4$$

Kalikan 2 kali 2.

$$y=4+4$$

Tambahkan 4 sampai 4.

$$y=8$$

Sistem kini terselesaikan.

$$y=8,x=2$$

Langkah Menggunakan Matriks

Masukkan persamaan dalam bentuk standar lalu gunakan matriks untuk menyelesaikan sistem persamaannya.

$$y-2x=4,3y+2x=28$$

Tulis persamaan dalam bentuk matriks.

$$\left(\begin{matrix}1&-2\\3&2\end{matrix}\right)\left(\begin{matrix}y\\x\end{matrix}\right)=\left(\begin{matrix}4\\28\end{matrix}\right)$$

Kalikan persamaan sisi kiri dengan matriks terbalik \left(\begin{matrix}1&-2\\3&2\end{matrix}\right).

$$inverse(\left(\begin{matrix}1&-2\\3&2\end{matrix}\right))\left(\begin{matrix}1&-2\\3&2\end{matrix}\right)\left(\begin{matrix}y\\x\end{matrix}\right)=inverse(\left(\begin{matrix}1&-2\\3&2\end{matrix}\right))\left(\begin{matrix}4\\28\end{matrix}\right)$$

Hasil kali matriks dan invers-nya adalah matriks identitas.

$$\left(\begin{matrix}1&0\\0&1\end{matrix}\right)\left(\begin{matrix}y\\x\end{matrix}\right)=inverse(\left(\begin{matrix}1&-2\\3&2\end{matrix}\right))\left(\begin{matrix}4\\28\end{matrix}\right)$$

Kalikan matriks pada sisi kiri tanda sama dengan.

$$\left(\begin{matrix}y\\x\end{matrix}\right)=inverse(\left(\begin{matrix}1&-2\\3&2\end{matrix}\right))\left(\begin{matrix}4\\28\end{matrix}\right)$$

Untuk matriks 2\times 2 \left(\begin{matrix}a&b\\c&d\end{matrix}\right), matriks kebalikannya adalah \left(\begin{matrix}\frac{d}{ad-bc}&\frac{-b}{ad-bc}\\\frac{-c}{ad-bc}&\frac{a}{ad-bc}\end{matrix}\right), maka persamaan matriks dapat ditulis ulang sebagai persoalan perkalian matriks.

$$\left(\begin{matrix}y\\x\end{matrix}\right)=\left(\begin{matrix}\frac{2}{2-\left(-2\times 3\right)}&-\frac{-2}{2-\left(-2\times 3\right)}\\-\frac{3}{2-\left(-2\times 3\right)}&\frac{1}{2-\left(-2\times 3\right)}\end{matrix}\right)\left(\begin{matrix}4\\28\end{matrix}\right)$$

Lakukan penghitungannya.

$$\left(\begin{matrix}y\\x\end{matrix}\right)=\left(\begin{matrix}\frac{1}{4}&\frac{1}{4}\\-\frac{3}{8}&\frac{1}{8}\end{matrix}\right)\left(\begin{matrix}4\\28\end{matrix}\right)$$

Kalikan matriks.

$$\left(\begin{matrix}y\\x\end{matrix}\right)=\left(\begin{matrix}\frac{1}{4}\times 4+\frac{1}{4}\times 28\\-\frac{3}{8}\times 4+\frac{1}{8}\times 28\end{matrix}\right)$$

Lakukan penghitungannya.

$$\left(\begin{matrix}y\\x\end{matrix}\right)=\left(\begin{matrix}8\\2\end{matrix}\right)$$

Ekstrak elemen matriks y dan x.

$$y=8,x=2$$

Langkah Menggunakan Eliminasi

Agar dapat menyelesaikan dengan eliminasi, koefisien dari satu variabel harus sama dengan kedua persamaan sehingga variabel dapat disederhanakan saat satu persamaan dikurangi dengan persamaan lainnya.

$$y-2x=4,3y+2x=28$$

Untuk menjadikan y dan 3y yang sama, kalikan semua suku pada tiap sisi dari persamaan pertama dengan 3 dan semua suku pada tiap sisi yang kedua dengan 1.

$$3y+3\left(-2\right)x=3\times 4,3y+2x=28$$

Sederhanakan.

$$3y-6x=12,3y+2x=28$$

Kurangi 3y+2x=28 dari 3y-6x=12 dengan mengurangi suku sejenis pada tiap sisi dari tanda sama dengan.

$$3y-3y-6x-2x=12-28$$

Tambahkan 3y sampai -3y. Istilah 3y dan -3y dibatalkan, meninggalkan persamaan dengan hanya satu variabel yang dapat diselesaikan.

$$-6x-2x=12-28$$

Tambahkan -6x sampai -2x.

$$-8x=12-28$$

Tambahkan 12 sampai -28.

$$-8x=-16$$

Bagi kedua sisi dengan -8.

$$x=2$$

Ganti 2 untuk x dalam 3y+2x=28. Karena hasil persamaan hanya berisi satu variabel, Anda dapat menyelesaikan y secara langsung.

$$3y+2\times 2=28$$

Kalikan 2 kali 2.

$$3y+4=28$$

Kurangi 4 dari kedua sisi persamaan.

$$3y=24$$

Bagi kedua sisi dengan 3.

$$y=8$$

Sistem kini terselesaikan.

$$y=8,x=2$$