Selesaikan {l}{y=3x}{x+y=16}

$$\left\{ \begin{array} { l } { y = 3 x } \\ { x + y = 16 } \end{array} \right\}$$

Cari nilai y, x

$$x=4$$

$$y=12$$

Langkah-Langkah yang Menggunakan Substitusi

Sederhanakan persamaan pertama. Kurangi 3x dari kedua sisi.

$$y-3x=0$$

Untuk menyelesaikan sepasang persamaan dengan substitusi, terlebih dahulu selesaikan satu persamaan untuk satu variabel. Lalu ganti hasil untuk variabel tersebut di persamaan yang lain.

$$y-3x=0,y+x=16$$

Pilih salah satu persamaan dan temukan nilai y dengan memisahkan y di sisi kiri tanda sama dengan.

$$y-3x=0$$

Tambahkan 3x ke kedua sisi persamaan.

$$y=3x$$

Ganti 3x untuk y di persamaan lain, y+x=16.

$$3x+x=16$$

Tambahkan 3x sampai x.

$$4x=16$$

Bagi kedua sisi dengan 4.

$$x=4$$

Ganti 4 untuk x dalam y=3x. Karena hasil persamaan hanya berisi satu variabel, Anda dapat menyelesaikan y secara langsung.

$$y=3\times 4$$

Kalikan 3 kali 4.

$$y=12$$

Sistem kini terselesaikan.

$$y=12,x=4$$

Langkah Menggunakan Matriks

Sederhanakan persamaan pertama. Kurangi 3x dari kedua sisi.

$$y-3x=0$$

Masukkan persamaan dalam bentuk standar lalu gunakan matriks untuk menyelesaikan sistem persamaannya.

$$y-3x=0,y+x=16$$

Tulis persamaan dalam bentuk matriks.

$$\left(\begin{matrix}1&-3\\1&1\end{matrix}\right)\left(\begin{matrix}y\\x\end{matrix}\right)=\left(\begin{matrix}0\\16\end{matrix}\right)$$

Kalikan persamaan sisi kiri dengan matriks terbalik \left(\begin{matrix}1&-3\\1&1\end{matrix}\right).

$$inverse(\left(\begin{matrix}1&-3\\1&1\end{matrix}\right))\left(\begin{matrix}1&-3\\1&1\end{matrix}\right)\left(\begin{matrix}y\\x\end{matrix}\right)=inverse(\left(\begin{matrix}1&-3\\1&1\end{matrix}\right))\left(\begin{matrix}0\\16\end{matrix}\right)$$

Hasil kali matriks dan invers-nya adalah matriks identitas.

$$\left(\begin{matrix}1&0\\0&1\end{matrix}\right)\left(\begin{matrix}y\\x\end{matrix}\right)=inverse(\left(\begin{matrix}1&-3\\1&1\end{matrix}\right))\left(\begin{matrix}0\\16\end{matrix}\right)$$

Kalikan matriks pada sisi kiri tanda sama dengan.

$$\left(\begin{matrix}y\\x\end{matrix}\right)=inverse(\left(\begin{matrix}1&-3\\1&1\end{matrix}\right))\left(\begin{matrix}0\\16\end{matrix}\right)$$

Untuk matriks 2\times 2 \left(\begin{matrix}a&b\\c&d\end{matrix}\right), matriks kebalikannya adalah \left(\begin{matrix}\frac{d}{ad-bc}&\frac{-b}{ad-bc}\\\frac{-c}{ad-bc}&\frac{a}{ad-bc}\end{matrix}\right), maka persamaan matriks dapat ditulis ulang sebagai persoalan perkalian matriks.

$$\left(\begin{matrix}y\\x\end{matrix}\right)=\left(\begin{matrix}\frac{1}{1-\left(-3\right)}&-\frac{-3}{1-\left(-3\right)}\\-\frac{1}{1-\left(-3\right)}&\frac{1}{1-\left(-3\right)}\end{matrix}\right)\left(\begin{matrix}0\\16\end{matrix}\right)$$

Lakukan penghitungannya.

$$\left(\begin{matrix}y\\x\end{matrix}\right)=\left(\begin{matrix}\frac{1}{4}&\frac{3}{4}\\-\frac{1}{4}&\frac{1}{4}\end{matrix}\right)\left(\begin{matrix}0\\16\end{matrix}\right)$$

Kalikan matriks.

$$\left(\begin{matrix}y\\x\end{matrix}\right)=\left(\begin{matrix}\frac{3}{4}\times 16\\\frac{1}{4}\times 16\end{matrix}\right)$$

Lakukan penghitungannya.

$$\left(\begin{matrix}y\\x\end{matrix}\right)=\left(\begin{matrix}12\\4\end{matrix}\right)$$

Ekstrak elemen matriks y dan x.

$$y=12,x=4$$

Langkah Menggunakan Eliminasi

Sederhanakan persamaan pertama. Kurangi 3x dari kedua sisi.

$$y-3x=0$$

Agar dapat menyelesaikan dengan eliminasi, koefisien dari satu variabel harus sama dengan kedua persamaan sehingga variabel dapat disederhanakan saat satu persamaan dikurangi dengan persamaan lainnya.

$$y-3x=0,y+x=16$$

Kurangi y+x=16 dari y-3x=0 dengan mengurangi suku sejenis pada tiap sisi dari tanda sama dengan.

$$y-y-3x-x=-16$$

Tambahkan y sampai -y. Istilah y dan -y dibatalkan, meninggalkan persamaan dengan hanya satu variabel yang dapat diselesaikan.

$$-3x-x=-16$$

Tambahkan -3x sampai -x.

$$-4x=-16$$

Bagi kedua sisi dengan -4.

$$x=4$$

Ganti 4 untuk x dalam y+x=16. Karena hasil persamaan hanya berisi satu variabel, Anda dapat menyelesaikan y secara langsung.

$$y+4=16$$

Kurangi 4 dari kedua sisi persamaan.

$$y=12$$

Sistem kini terselesaikan.

$$y=12,x=4$$