Selesaikan {l}{x+y=5}{x-y=1}

$$\left\{ \begin{array} { l } { x + y = 5 } \\ { x - y = 1 } \end{array} \right\}$$

Cari nilai x, y

$$x=3$$

$$y=2$$

Langkah-Langkah yang Menggunakan Substitusi

Untuk menyelesaikan sepasang persamaan dengan substitusi, terlebih dahulu selesaikan satu persamaan untuk satu variabel. Lalu ganti hasil untuk variabel tersebut di persamaan yang lain.

$$x+y=5,x-y=1$$

Pilih salah satu persamaan dan temukan nilai x dengan memisahkan x di sisi kiri tanda sama dengan.

$$x+y=5$$

Kurangi y dari kedua sisi persamaan.

$$x=-y+5$$

Ganti -y+5 untuk x di persamaan lain, x-y=1.

$$-y+5-y=1$$

Tambahkan -y sampai -y.

$$-2y+5=1$$

Kurangi 5 dari kedua sisi persamaan.

$$-2y=-4$$

Bagi kedua sisi dengan -2.

$$y=2$$

Ganti 2 untuk y dalam x=-y+5. Karena hasil persamaan hanya berisi satu variabel, Anda dapat menyelesaikan x secara langsung.

$$x=-2+5$$

Tambahkan 5 sampai -2.

$$x=3$$

Sistem kini terselesaikan.

$$x=3,y=2$$

Langkah Menggunakan Matriks

Masukkan persamaan dalam bentuk standar lalu gunakan matriks untuk menyelesaikan sistem persamaannya.

$$x+y=5,x-y=1$$

Tulis persamaan dalam bentuk matriks.

$$\left(\begin{matrix}1&1\\1&-1\end{matrix}\right)\left(\begin{matrix}x\\y\end{matrix}\right)=\left(\begin{matrix}5\\1\end{matrix}\right)$$

Kalikan persamaan sisi kiri dengan matriks terbalik \left(\begin{matrix}1&1\\1&-1\end{matrix}\right).

$$inverse(\left(\begin{matrix}1&1\\1&-1\end{matrix}\right))\left(\begin{matrix}1&1\\1&-1\end{matrix}\right)\left(\begin{matrix}x\\y\end{matrix}\right)=inverse(\left(\begin{matrix}1&1\\1&-1\end{matrix}\right))\left(\begin{matrix}5\\1\end{matrix}\right)$$

Hasil kali matriks dan invers-nya adalah matriks identitas.

$$\left(\begin{matrix}1&0\\0&1\end{matrix}\right)\left(\begin{matrix}x\\y\end{matrix}\right)=inverse(\left(\begin{matrix}1&1\\1&-1\end{matrix}\right))\left(\begin{matrix}5\\1\end{matrix}\right)$$

Kalikan matriks pada sisi kiri tanda sama dengan.

$$\left(\begin{matrix}x\\y\end{matrix}\right)=inverse(\left(\begin{matrix}1&1\\1&-1\end{matrix}\right))\left(\begin{matrix}5\\1\end{matrix}\right)$$

Untuk matriks 2\times 2 \left(\begin{matrix}a&b\\c&d\end{matrix}\right), matriks kebalikannya adalah \left(\begin{matrix}\frac{d}{ad-bc}&\frac{-b}{ad-bc}\\\frac{-c}{ad-bc}&\frac{a}{ad-bc}\end{matrix}\right), maka persamaan matriks dapat ditulis ulang sebagai persoalan perkalian matriks.

$$\left(\begin{matrix}x\\y\end{matrix}\right)=\left(\begin{matrix}-\frac{1}{-1-1}&-\frac{1}{-1-1}\\-\frac{1}{-1-1}&\frac{1}{-1-1}\end{matrix}\right)\left(\begin{matrix}5\\1\end{matrix}\right)$$

Lakukan penghitungannya.

$$\left(\begin{matrix}x\\y\end{matrix}\right)=\left(\begin{matrix}\frac{1}{2}&\frac{1}{2}\\\frac{1}{2}&-\frac{1}{2}\end{matrix}\right)\left(\begin{matrix}5\\1\end{matrix}\right)$$

Kalikan matriks.

$$\left(\begin{matrix}x\\y\end{matrix}\right)=\left(\begin{matrix}\frac{1}{2}\times 5+\frac{1}{2}\\\frac{1}{2}\times 5-\frac{1}{2}\end{matrix}\right)$$

Lakukan penghitungannya.

$$\left(\begin{matrix}x\\y\end{matrix}\right)=\left(\begin{matrix}3\\2\end{matrix}\right)$$

Ekstrak elemen matriks x dan y.

$$x=3,y=2$$

Langkah Menggunakan Eliminasi

Agar dapat menyelesaikan dengan eliminasi, koefisien dari satu variabel harus sama dengan kedua persamaan sehingga variabel dapat disederhanakan saat satu persamaan dikurangi dengan persamaan lainnya.

$$x+y=5,x-y=1$$

Kurangi x-y=1 dari x+y=5 dengan mengurangi suku sejenis pada tiap sisi dari tanda sama dengan.

$$x-x+y+y=5-1$$

Tambahkan x sampai -x. Istilah x dan -x dibatalkan, meninggalkan persamaan dengan hanya satu variabel yang dapat diselesaikan.

$$y+y=5-1$$

Tambahkan y sampai y.

$$2y=5-1$$

Tambahkan 5 sampai -1.

$$2y=4$$

Bagi kedua sisi dengan 2.

$$y=2$$

Ganti 2 untuk y dalam x-y=1. Karena hasil persamaan hanya berisi satu variabel, Anda dapat menyelesaikan x secara langsung.

$$x-2=1$$

Tambahkan 2 ke kedua sisi persamaan.

$$x=3$$

Sistem kini terselesaikan.

$$x=3,y=2$$