Selesaikan {l}{2x-3y=5}{3x-2y=5}

$$\left\{ \begin{array} { l } { 2 x - 3 y = 5 } \\ { 3 x - 2 y = 5 } \end{array} \right.$$

Cari nilai x, y

$$x=1$$

$$y=-1$$

Langkah-Langkah yang Menggunakan Substitusi

Untuk menyelesaikan sepasang persamaan dengan substitusi, terlebih dahulu selesaikan satu persamaan untuk satu variabel. Lalu ganti hasil untuk variabel tersebut di persamaan yang lain.

$$2x-3y=5,3x-2y=5$$

Pilih salah satu persamaan dan temukan nilai x dengan memisahkan x di sisi kiri tanda sama dengan.

$$2x-3y=5$$

Tambahkan 3y ke kedua sisi persamaan.

$$2x=3y+5$$

Bagi kedua sisi dengan 2.

$$x=\frac{1}{2}\left(3y+5\right)$$

Kalikan \frac{1}{2} kali 3y+5.

$$x=\frac{3}{2}y+\frac{5}{2}$$

Ganti \frac{3y+5}{2} untuk x di persamaan lain, 3x-2y=5.

$$3\left(\frac{3}{2}y+\frac{5}{2}\right)-2y=5$$

Kalikan 3 kali \frac{3y+5}{2}.

$$\frac{9}{2}y+\frac{15}{2}-2y=5$$

Tambahkan \frac{9y}{2} sampai -2y.

$$\frac{5}{2}y+\frac{15}{2}=5$$

Kurangi \frac{15}{2} dari kedua sisi persamaan.

$$\frac{5}{2}y=-\frac{5}{2}$$

Bagi kedua sisi persamaan dengan \frac{5}{2}, yang sama dengan mengalikan kedua sisi dengan resiprokal dari pecahan.

$$y=-1$$

Ganti -1 untuk y dalam x=\frac{3}{2}y+\frac{5}{2}. Karena hasil persamaan hanya berisi satu variabel, Anda dapat menyelesaikan x secara langsung.

$$x=\frac{3}{2}\left(-1\right)+\frac{5}{2}$$

Kalikan \frac{3}{2} kali -1.

$$x=\frac{-3+5}{2}$$

Tambahkan \frac{5}{2} ke -\frac{3}{2} dengan mencari faktor persekutuan dan menambahkan pembilang. Lalu kurangi pecahan ke suku terkecil jika memungkinkan.

$$x=1$$

Sistem kini terselesaikan.

$$x=1,y=-1$$

Langkah Menggunakan Matriks

Masukkan persamaan dalam bentuk standar lalu gunakan matriks untuk menyelesaikan sistem persamaannya.

$$2x-3y=5,3x-2y=5$$

Tulis persamaan dalam bentuk matriks.

$$\left(\begin{matrix}2&-3\\3&-2\end{matrix}\right)\left(\begin{matrix}x\\y\end{matrix}\right)=\left(\begin{matrix}5\\5\end{matrix}\right)$$

Kalikan persamaan sisi kiri dengan matriks terbalik \left(\begin{matrix}2&-3\\3&-2\end{matrix}\right).

$$inverse(\left(\begin{matrix}2&-3\\3&-2\end{matrix}\right))\left(\begin{matrix}2&-3\\3&-2\end{matrix}\right)\left(\begin{matrix}x\\y\end{matrix}\right)=inverse(\left(\begin{matrix}2&-3\\3&-2\end{matrix}\right))\left(\begin{matrix}5\\5\end{matrix}\right)$$

Hasil kali matriks dan invers-nya adalah matriks identitas.

$$\left(\begin{matrix}1&0\\0&1\end{matrix}\right)\left(\begin{matrix}x\\y\end{matrix}\right)=inverse(\left(\begin{matrix}2&-3\\3&-2\end{matrix}\right))\left(\begin{matrix}5\\5\end{matrix}\right)$$

Kalikan matriks pada sisi kiri tanda sama dengan.

$$\left(\begin{matrix}x\\y\end{matrix}\right)=inverse(\left(\begin{matrix}2&-3\\3&-2\end{matrix}\right))\left(\begin{matrix}5\\5\end{matrix}\right)$$

Untuk matriks 2\times 2 \left(\begin{matrix}a&b\\c&d\end{matrix}\right), matriks kebalikannya adalah \left(\begin{matrix}\frac{d}{ad-bc}&\frac{-b}{ad-bc}\\\frac{-c}{ad-bc}&\frac{a}{ad-bc}\end{matrix}\right), sehingga persamaan matriks dapat ditulis ulang sebagai masalah perkalian matriks.

$$\left(\begin{matrix}x\\y\end{matrix}\right)=\left(\begin{matrix}-\frac{2}{2\left(-2\right)-\left(-3\times 3\right)}&-\frac{-3}{2\left(-2\right)-\left(-3\times 3\right)}\\-\frac{3}{2\left(-2\right)-\left(-3\times 3\right)}&\frac{2}{2\left(-2\right)-\left(-3\times 3\right)}\end{matrix}\right)\left(\begin{matrix}5\\5\end{matrix}\right)$$

Lakukan penghitungannya.

$$\left(\begin{matrix}x\\y\end{matrix}\right)=\left(\begin{matrix}-\frac{2}{5}&\frac{3}{5}\\-\frac{3}{5}&\frac{2}{5}\end{matrix}\right)\left(\begin{matrix}5\\5\end{matrix}\right)$$

Kalikan matriks.

$$\left(\begin{matrix}x\\y\end{matrix}\right)=\left(\begin{matrix}-\frac{2}{5}\times 5+\frac{3}{5}\times 5\\-\frac{3}{5}\times 5+\frac{2}{5}\times 5\end{matrix}\right)$$

Lakukan penghitungannya.

$$\left(\begin{matrix}x\\y\end{matrix}\right)=\left(\begin{matrix}1\\-1\end{matrix}\right)$$

Ekstrak elemen matriks x dan y.

$$x=1,y=-1$$

Langkah Menggunakan Eliminasi

Agar dapat menyelesaikan dengan eliminasi, koefisien dari satu variabel harus sama dengan kedua persamaan sehingga variabel dapat disederhanakan saat satu persamaan dikurangi dengan persamaan lainnya.

$$2x-3y=5,3x-2y=5$$

Untuk menjadikan 2x dan 3x yang sama, kalikan semua suku pada tiap sisi dari persamaan pertama dengan 3 dan semua suku pada tiap sisi yang kedua dengan 2.

$$3\times 2x+3\left(-3\right)y=3\times 5,2\times 3x+2\left(-2\right)y=2\times 5$$

Sederhanakan.

$$6x-9y=15,6x-4y=10$$

Kurangi 6x-4y=10 dari 6x-9y=15 dengan mengurangi suku sejenis pada tiap sisi dari tanda sama dengan.

$$6x-6x-9y+4y=15-10$$

Tambahkan 6x sampai -6x. Suku 6x dan -6x saling membatalkan, meninggalkan sebuah persamaan dengan hanya satu variabel yang dapat diselesaikan.

$$-9y+4y=15-10$$

Tambahkan -9y sampai 4y.

$$-5y=15-10$$

Tambahkan 15 sampai -10.

$$-5y=5$$

Bagi kedua sisi dengan -5.

$$y=-1$$

Ganti -1 untuk y dalam 3x-2y=5. Karena hasil persamaan hanya berisi satu variabel, Anda dapat menyelesaikan x secara langsung.

$$3x-2\left(-1\right)=5$$

Kalikan -2 kali -1.

$$3x+2=5$$

Kurangi 2 dari kedua sisi persamaan.

$$3x=3$$

Bagi kedua sisi dengan 3.

$$x=1$$

Sistem kini terselesaikan.

$$x=1,y=-1$$