Selesaikan {l}{2x+y=6}{4x-y=7}

$$\left\{ \begin{array} { l } { 2 x + y = 6 } \\ { 4 x - y = 7 } \end{array} \right.$$

Cari nilai x, y

$$x = \frac{13}{6} = 2\frac{1}{6} \approx 2.166666667$$

$$y = \frac{5}{3} = 1\frac{2}{3} \approx 1.666666667$$

Langkah-Langkah yang Menggunakan Substitusi

Untuk menyelesaikan sepasang persamaan dengan substitusi, terlebih dahulu selesaikan satu persamaan untuk satu variabel. Lalu ganti hasil untuk variabel tersebut di persamaan yang lain.

$$2x+y=6,4x-y=7$$

Pilih salah satu persamaan dan temukan nilai x dengan memisahkan x di sisi kiri tanda sama dengan.

$$2x+y=6$$

Kurangi y dari kedua sisi persamaan.

$$2x=-y+6$$

Bagi kedua sisi dengan 2.

$$x=\frac{1}{2}\left(-y+6\right)$$

Kalikan \frac{1}{2} kali -y+6.

$$x=-\frac{1}{2}y+3$$

Ganti -\frac{y}{2}+3 untuk x di persamaan lain, 4x-y=7.

$$4\left(-\frac{1}{2}y+3\right)-y=7$$

Kalikan 4 kali -\frac{y}{2}+3.

$$-2y+12-y=7$$

Tambahkan -2y sampai -y.

$$-3y+12=7$$

Kurangi 12 dari kedua sisi persamaan.

$$-3y=-5$$

Bagi kedua sisi dengan -3.

$$y=\frac{5}{3}$$

Ganti \frac{5}{3} untuk y dalam x=-\frac{1}{2}y+3. Karena hasil persamaan hanya berisi satu variabel, Anda dapat menyelesaikan x secara langsung.

$$x=-\frac{1}{2}\times \frac{5}{3}+3$$

Kalikan -\frac{1}{2} kali \frac{5}{3} dengan mengalikan bilangan pembilang dikalikan pembilang dan penyebut dikalikan penyebut. Lalu kurangi pecahan ke suku terkecil jika memungkinkan.

$$x=-\frac{5}{6}+3$$

Tambahkan 3 sampai -\frac{5}{6}.

$$x=\frac{13}{6}$$

Sistem kini terselesaikan.

$$x=\frac{13}{6},y=\frac{5}{3}$$

Langkah Menggunakan Matriks

Masukkan persamaan dalam bentuk standar lalu gunakan matriks untuk menyelesaikan sistem persamaannya.

$$2x+y=6,4x-y=7$$

Tulis persamaan dalam bentuk matriks.

$$\left(\begin{matrix}2&1\\4&-1\end{matrix}\right)\left(\begin{matrix}x\\y\end{matrix}\right)=\left(\begin{matrix}6\\7\end{matrix}\right)$$

Kalikan persamaan sisi kiri dengan matriks terbalik \left(\begin{matrix}2&1\\4&-1\end{matrix}\right).

$$inverse(\left(\begin{matrix}2&1\\4&-1\end{matrix}\right))\left(\begin{matrix}2&1\\4&-1\end{matrix}\right)\left(\begin{matrix}x\\y\end{matrix}\right)=inverse(\left(\begin{matrix}2&1\\4&-1\end{matrix}\right))\left(\begin{matrix}6\\7\end{matrix}\right)$$

Hasil kali matriks dan invers-nya adalah matriks identitas.

$$\left(\begin{matrix}1&0\\0&1\end{matrix}\right)\left(\begin{matrix}x\\y\end{matrix}\right)=inverse(\left(\begin{matrix}2&1\\4&-1\end{matrix}\right))\left(\begin{matrix}6\\7\end{matrix}\right)$$

Kalikan matriks pada sisi kiri tanda sama dengan.

$$\left(\begin{matrix}x\\y\end{matrix}\right)=inverse(\left(\begin{matrix}2&1\\4&-1\end{matrix}\right))\left(\begin{matrix}6\\7\end{matrix}\right)$$

Untuk matriks 2\times 2 \left(\begin{matrix}a&b\\c&d\end{matrix}\right), matriks kebalikannya adalah \left(\begin{matrix}\frac{d}{ad-bc}&\frac{-b}{ad-bc}\\\frac{-c}{ad-bc}&\frac{a}{ad-bc}\end{matrix}\right), sehingga persamaan matriks dapat ditulis ulang sebagai masalah perkalian matriks.

$$\left(\begin{matrix}x\\y\end{matrix}\right)=\left(\begin{matrix}-\frac{1}{2\left(-1\right)-4}&-\frac{1}{2\left(-1\right)-4}\\-\frac{4}{2\left(-1\right)-4}&\frac{2}{2\left(-1\right)-4}\end{matrix}\right)\left(\begin{matrix}6\\7\end{matrix}\right)$$

Lakukan penghitungannya.

$$\left(\begin{matrix}x\\y\end{matrix}\right)=\left(\begin{matrix}\frac{1}{6}&\frac{1}{6}\\\frac{2}{3}&-\frac{1}{3}\end{matrix}\right)\left(\begin{matrix}6\\7\end{matrix}\right)$$

Kalikan matriks.

$$\left(\begin{matrix}x\\y\end{matrix}\right)=\left(\begin{matrix}\frac{1}{6}\times 6+\frac{1}{6}\times 7\\\frac{2}{3}\times 6-\frac{1}{3}\times 7\end{matrix}\right)$$

Lakukan penghitungannya.

$$\left(\begin{matrix}x\\y\end{matrix}\right)=\left(\begin{matrix}\frac{13}{6}\\\frac{5}{3}\end{matrix}\right)$$

Ekstrak elemen matriks x dan y.

$$x=\frac{13}{6},y=\frac{5}{3}$$

Langkah Menggunakan Eliminasi

Agar dapat menyelesaikan dengan eliminasi, koefisien dari satu variabel harus sama dengan kedua persamaan sehingga variabel dapat disederhanakan saat satu persamaan dikurangi dengan persamaan lainnya.

$$2x+y=6,4x-y=7$$

Untuk menjadikan 2x dan 4x yang sama, kalikan semua suku pada tiap sisi dari persamaan pertama dengan 4 dan semua suku pada tiap sisi yang kedua dengan 2.

$$4\times 2x+4y=4\times 6,2\times 4x+2\left(-1\right)y=2\times 7$$

Sederhanakan.

$$8x+4y=24,8x-2y=14$$

Kurangi 8x-2y=14 dari 8x+4y=24 dengan mengurangi suku sejenis pada tiap sisi dari tanda sama dengan.

$$8x-8x+4y+2y=24-14$$

Tambahkan 8x sampai -8x. Suku 8x dan -8x saling membatalkan, meninggalkan sebuah persamaan dengan hanya satu variabel yang dapat diselesaikan.

$$4y+2y=24-14$$

Tambahkan 4y sampai 2y.

$$6y=24-14$$

Tambahkan 24 sampai -14.

$$6y=10$$

Bagi kedua sisi dengan 6.

$$y=\frac{5}{3}$$

Ganti \frac{5}{3} untuk y dalam 4x-y=7. Karena hasil persamaan hanya berisi satu variabel, Anda dapat menyelesaikan x secara langsung.

$$4x-\frac{5}{3}=7$$

Tambahkan \frac{5}{3} ke kedua sisi persamaan.

$$4x=\frac{26}{3}$$

Bagi kedua sisi dengan 4.

$$x=\frac{13}{6}$$

Sistem kini terselesaikan.

$$x=\frac{13}{6},y=\frac{5}{3}$$