Selesaikan {l}{2x+y=3}{x-y=1}

$$\left\{ \begin{array} { l } { 2 x + y = 3 } \\ { x - y = 1 } \end{array} \right.$$

Cari nilai x, y

$$x = \frac{4}{3} = 1\frac{1}{3} \approx 1.333333333$$

$$y=\frac{1}{3}\approx 0.333333333$$

Langkah-Langkah yang Menggunakan Substitusi

Untuk menyelesaikan sepasang persamaan dengan substitusi, terlebih dahulu selesaikan satu persamaan untuk satu variabel. Lalu ganti hasil untuk variabel tersebut di persamaan yang lain.

$$2x+y=3,x-y=1$$

Pilih salah satu persamaan dan temukan nilai x dengan memisahkan x di sisi kiri tanda sama dengan.

$$2x+y=3$$

Kurangi y dari kedua sisi persamaan.

$$2x=-y+3$$

Bagi kedua sisi dengan 2.

$$x=\frac{1}{2}\left(-y+3\right)$$

Kalikan \frac{1}{2} kali -y+3.

$$x=-\frac{1}{2}y+\frac{3}{2}$$

Ganti \frac{-y+3}{2} untuk x di persamaan lain, x-y=1.

$$-\frac{1}{2}y+\frac{3}{2}-y=1$$

Tambahkan -\frac{y}{2} sampai -y.

$$-\frac{3}{2}y+\frac{3}{2}=1$$

Kurangi \frac{3}{2} dari kedua sisi persamaan.

$$-\frac{3}{2}y=-\frac{1}{2}$$

Bagi kedua sisi persamaan dengan -\frac{3}{2}, yang sama dengan mengalikan kedua sisi dengan resiprokal dari pecahan.

$$y=\frac{1}{3}$$

Ganti \frac{1}{3} untuk y dalam x=-\frac{1}{2}y+\frac{3}{2}. Karena hasil persamaan hanya berisi satu variabel, Anda dapat menyelesaikan x secara langsung.

$$x=-\frac{1}{2}\times \frac{1}{3}+\frac{3}{2}$$

Kalikan -\frac{1}{2} kali \frac{1}{3} dengan mengalikan bilangan pembilang dikalikan pembilang dan penyebut dikalikan penyebut. Lalu kurangi pecahan ke suku terkecil jika memungkinkan.

$$x=-\frac{1}{6}+\frac{3}{2}$$

Tambahkan \frac{3}{2} ke -\frac{1}{6} dengan mencari faktor persekutuan dan menambahkan pembilang. Lalu kurangi pecahan ke suku terkecil jika memungkinkan.

$$x=\frac{4}{3}$$

Sistem kini terselesaikan.

$$x=\frac{4}{3},y=\frac{1}{3}$$

Langkah Menggunakan Matriks

Masukkan persamaan dalam bentuk standar lalu gunakan matriks untuk menyelesaikan sistem persamaannya.

$$2x+y=3,x-y=1$$

Tulis persamaan dalam bentuk matriks.

$$\left(\begin{matrix}2&1\\1&-1\end{matrix}\right)\left(\begin{matrix}x\\y\end{matrix}\right)=\left(\begin{matrix}3\\1\end{matrix}\right)$$

Kalikan persamaan sisi kiri dengan matriks terbalik \left(\begin{matrix}2&1\\1&-1\end{matrix}\right).

$$inverse(\left(\begin{matrix}2&1\\1&-1\end{matrix}\right))\left(\begin{matrix}2&1\\1&-1\end{matrix}\right)\left(\begin{matrix}x\\y\end{matrix}\right)=inverse(\left(\begin{matrix}2&1\\1&-1\end{matrix}\right))\left(\begin{matrix}3\\1\end{matrix}\right)$$

Hasil kali matriks dan invers-nya adalah matriks identitas.

$$\left(\begin{matrix}1&0\\0&1\end{matrix}\right)\left(\begin{matrix}x\\y\end{matrix}\right)=inverse(\left(\begin{matrix}2&1\\1&-1\end{matrix}\right))\left(\begin{matrix}3\\1\end{matrix}\right)$$

Kalikan matriks pada sisi kiri tanda sama dengan.

$$\left(\begin{matrix}x\\y\end{matrix}\right)=inverse(\left(\begin{matrix}2&1\\1&-1\end{matrix}\right))\left(\begin{matrix}3\\1\end{matrix}\right)$$

Untuk matriks 2\times 2 \left(\begin{matrix}a&b\\c&d\end{matrix}\right), matriks kebalikannya adalah \left(\begin{matrix}\frac{d}{ad-bc}&\frac{-b}{ad-bc}\\\frac{-c}{ad-bc}&\frac{a}{ad-bc}\end{matrix}\right), sehingga persamaan matriks dapat ditulis ulang sebagai masalah perkalian matriks.

$$\left(\begin{matrix}x\\y\end{matrix}\right)=\left(\begin{matrix}-\frac{1}{2\left(-1\right)-1}&-\frac{1}{2\left(-1\right)-1}\\-\frac{1}{2\left(-1\right)-1}&\frac{2}{2\left(-1\right)-1}\end{matrix}\right)\left(\begin{matrix}3\\1\end{matrix}\right)$$

Lakukan penghitungannya.

$$\left(\begin{matrix}x\\y\end{matrix}\right)=\left(\begin{matrix}\frac{1}{3}&\frac{1}{3}\\\frac{1}{3}&-\frac{2}{3}\end{matrix}\right)\left(\begin{matrix}3\\1\end{matrix}\right)$$

Kalikan matriks.

$$\left(\begin{matrix}x\\y\end{matrix}\right)=\left(\begin{matrix}\frac{1}{3}\times 3+\frac{1}{3}\\\frac{1}{3}\times 3-\frac{2}{3}\end{matrix}\right)$$

Lakukan penghitungannya.

$$\left(\begin{matrix}x\\y\end{matrix}\right)=\left(\begin{matrix}\frac{4}{3}\\\frac{1}{3}\end{matrix}\right)$$

Ekstrak elemen matriks x dan y.

$$x=\frac{4}{3},y=\frac{1}{3}$$

Langkah Menggunakan Eliminasi

Agar dapat menyelesaikan dengan eliminasi, koefisien dari satu variabel harus sama dengan kedua persamaan sehingga variabel dapat disederhanakan saat satu persamaan dikurangi dengan persamaan lainnya.

$$2x+y=3,x-y=1$$

Untuk menjadikan 2x dan x yang sama, kalikan semua suku pada tiap sisi dari persamaan pertama dengan 1 dan semua suku pada tiap sisi yang kedua dengan 2.

$$2x+y=3,2x+2\left(-1\right)y=2$$

Sederhanakan.

$$2x+y=3,2x-2y=2$$

Kurangi 2x-2y=2 dari 2x+y=3 dengan mengurangi suku sejenis pada tiap sisi dari tanda sama dengan.

$$2x-2x+y+2y=3-2$$

Tambahkan 2x sampai -2x. Suku 2x dan -2x saling membatalkan, meninggalkan sebuah persamaan dengan hanya satu variabel yang dapat diselesaikan.

$$y+2y=3-2$$

Tambahkan y sampai 2y.

$$3y=3-2$$

Tambahkan 3 sampai -2.

$$3y=1$$

Bagi kedua sisi dengan 3.

$$y=\frac{1}{3}$$

Ganti \frac{1}{3} untuk y dalam x-y=1. Karena hasil persamaan hanya berisi satu variabel, Anda dapat menyelesaikan x secara langsung.

$$x-\frac{1}{3}=1$$

Tambahkan \frac{1}{3} ke kedua sisi persamaan.

$$x=\frac{4}{3}$$

Sistem kini terselesaikan.

$$x=\frac{4}{3},y=\frac{1}{3}$$