Selesaikan {l}{2x+y=3}{x+y=5}

$$\left\{ \begin{array} { l } { 2 x + y = 3 } \\ { x + y = 5 } \end{array} \right\}$$

Cari nilai x, y

$$x=-2$$

$$y=7$$

Langkah-Langkah yang Menggunakan Substitusi

Untuk menyelesaikan sepasang persamaan dengan substitusi, terlebih dahulu selesaikan satu persamaan untuk satu variabel. Lalu ganti hasil untuk variabel tersebut di persamaan yang lain.

$$2x+y=3,x+y=5$$

Pilih salah satu persamaan dan temukan nilai x dengan memisahkan x di sisi kiri tanda sama dengan.

$$2x+y=3$$

Kurangi y dari kedua sisi persamaan.

$$2x=-y+3$$

Bagi kedua sisi dengan 2.

$$x=\frac{1}{2}\left(-y+3\right)$$

Kalikan \frac{1}{2} kali -y+3.

$$x=-\frac{1}{2}y+\frac{3}{2}$$

Ganti \frac{-y+3}{2} untuk x di persamaan lain, x+y=5.

$$-\frac{1}{2}y+\frac{3}{2}+y=5$$

Tambahkan -\frac{y}{2} sampai y.

$$\frac{1}{2}y+\frac{3}{2}=5$$

Kurangi \frac{3}{2} dari kedua sisi persamaan.

$$\frac{1}{2}y=\frac{7}{2}$$

Kalikan kedua sisi dengan 2.

$$y=7$$

Ganti 7 untuk y dalam x=-\frac{1}{2}y+\frac{3}{2}. Karena hasil persamaan hanya berisi satu variabel, Anda dapat menyelesaikan x secara langsung.

$$x=-\frac{1}{2}\times 7+\frac{3}{2}$$

Kalikan -\frac{1}{2} kali 7.

$$x=\frac{-7+3}{2}$$

Tambahkan \frac{3}{2} ke -\frac{7}{2} dengan mencari faktor persekutuan dan menambahkan pembilang. Lalu kurangi pecahan ke suku terkecil jika memungkinkan.

$$x=-2$$

Sistem kini terselesaikan.

$$x=-2,y=7$$

Langkah Menggunakan Matriks

Masukkan persamaan dalam bentuk standar lalu gunakan matriks untuk menyelesaikan sistem persamaannya.

$$2x+y=3,x+y=5$$

Tulis persamaan dalam bentuk matriks.

$$\left(\begin{matrix}2&1\\1&1\end{matrix}\right)\left(\begin{matrix}x\\y\end{matrix}\right)=\left(\begin{matrix}3\\5\end{matrix}\right)$$

Kalikan persamaan sisi kiri dengan matriks terbalik \left(\begin{matrix}2&1\\1&1\end{matrix}\right).

$$inverse(\left(\begin{matrix}2&1\\1&1\end{matrix}\right))\left(\begin{matrix}2&1\\1&1\end{matrix}\right)\left(\begin{matrix}x\\y\end{matrix}\right)=inverse(\left(\begin{matrix}2&1\\1&1\end{matrix}\right))\left(\begin{matrix}3\\5\end{matrix}\right)$$

Hasil kali matriks dan invers-nya adalah matriks identitas.

$$\left(\begin{matrix}1&0\\0&1\end{matrix}\right)\left(\begin{matrix}x\\y\end{matrix}\right)=inverse(\left(\begin{matrix}2&1\\1&1\end{matrix}\right))\left(\begin{matrix}3\\5\end{matrix}\right)$$

Kalikan matriks pada sisi kiri tanda sama dengan.

$$\left(\begin{matrix}x\\y\end{matrix}\right)=inverse(\left(\begin{matrix}2&1\\1&1\end{matrix}\right))\left(\begin{matrix}3\\5\end{matrix}\right)$$

Untuk matriks 2\times 2 \left(\begin{matrix}a&b\\c&d\end{matrix}\right), matriks kebalikannya adalah \left(\begin{matrix}\frac{d}{ad-bc}&\frac{-b}{ad-bc}\\\frac{-c}{ad-bc}&\frac{a}{ad-bc}\end{matrix}\right), maka persamaan matriks dapat ditulis ulang sebagai persoalan perkalian matriks.

$$\left(\begin{matrix}x\\y\end{matrix}\right)=\left(\begin{matrix}\frac{1}{2-1}&-\frac{1}{2-1}\\-\frac{1}{2-1}&\frac{2}{2-1}\end{matrix}\right)\left(\begin{matrix}3\\5\end{matrix}\right)$$

Lakukan penghitungannya.

$$\left(\begin{matrix}x\\y\end{matrix}\right)=\left(\begin{matrix}1&-1\\-1&2\end{matrix}\right)\left(\begin{matrix}3\\5\end{matrix}\right)$$

Kalikan matriks.

$$\left(\begin{matrix}x\\y\end{matrix}\right)=\left(\begin{matrix}3-5\\-3+2\times 5\end{matrix}\right)$$

Lakukan penghitungannya.

$$\left(\begin{matrix}x\\y\end{matrix}\right)=\left(\begin{matrix}-2\\7\end{matrix}\right)$$

Ekstrak elemen matriks x dan y.

$$x=-2,y=7$$

Langkah Menggunakan Eliminasi

Agar dapat menyelesaikan dengan eliminasi, koefisien dari satu variabel harus sama dengan kedua persamaan sehingga variabel dapat disederhanakan saat satu persamaan dikurangi dengan persamaan lainnya.

$$2x+y=3,x+y=5$$

Kurangi x+y=5 dari 2x+y=3 dengan mengurangi suku sejenis pada tiap sisi dari tanda sama dengan.

$$2x-x+y-y=3-5$$

Tambahkan y sampai -y. Istilah y dan -y dibatalkan, meninggalkan persamaan dengan hanya satu variabel yang dapat diselesaikan.

$$2x-x=3-5$$

Tambahkan 2x sampai -x.

$$x=3-5$$

Tambahkan 3 sampai -5.

$$x=-2$$

Ganti -2 untuk x dalam x+y=5. Karena hasil persamaan hanya berisi satu variabel, Anda dapat menyelesaikan y secara langsung.

$$-2+y=5$$

Tambahkan 2 ke kedua sisi persamaan.

$$y=7$$

Sistem kini terselesaikan.

$$x=-2,y=7$$