Selesaikan {l}{2x+4y=2060}{5x+7y=1640}

$$\left\{ \begin{array} { l } { 2 x + 4 y = 2060 } \\ { 5 x + 7 y = 1640 } \end{array} \right.$$

Cari nilai x, y

$$x=-1310$$

$$y=1170$$

Langkah-Langkah yang Menggunakan Substitusi

Untuk menyelesaikan sepasang persamaan dengan substitusi, terlebih dahulu selesaikan satu persamaan untuk satu variabel. Lalu ganti hasil untuk variabel tersebut di persamaan yang lain.

$$2x+4y=2060,5x+7y=1640$$

Pilih salah satu persamaan dan temukan nilai x dengan memisahkan x di sisi kiri tanda sama dengan.

$$2x+4y=2060$$

Kurangi 4y dari kedua sisi persamaan.

$$2x=-4y+2060$$

Bagi kedua sisi dengan 2.

$$x=\frac{1}{2}\left(-4y+2060\right)$$

Kalikan \frac{1}{2} kali -4y+2060.

$$x=-2y+1030$$

Ganti -2y+1030 untuk x di persamaan lain, 5x+7y=1640.

$$5\left(-2y+1030\right)+7y=1640$$

Kalikan 5 kali -2y+1030.

$$-10y+5150+7y=1640$$

Tambahkan -10y sampai 7y.

$$-3y+5150=1640$$

Kurangi 5150 dari kedua sisi persamaan.

$$-3y=-3510$$

Bagi kedua sisi dengan -3.

$$y=1170$$

Ganti 1170 untuk y dalam x=-2y+1030. Karena hasil persamaan hanya berisi satu variabel, Anda dapat menyelesaikan x secara langsung.

$$x=-2\times 1170+1030$$

Kalikan -2 kali 1170.

$$x=-2340+1030$$

Tambahkan 1030 sampai -2340.

$$x=-1310$$

Sistem kini terselesaikan.

$$x=-1310,y=1170$$

Langkah Menggunakan Matriks

Masukkan persamaan dalam bentuk standar lalu gunakan matriks untuk menyelesaikan sistem persamaannya.

$$2x+4y=2060,5x+7y=1640$$

Tulis persamaan dalam bentuk matriks.

$$\left(\begin{matrix}2&4\\5&7\end{matrix}\right)\left(\begin{matrix}x\\y\end{matrix}\right)=\left(\begin{matrix}2060\\1640\end{matrix}\right)$$

Kalikan persamaan sisi kiri dengan matriks terbalik \left(\begin{matrix}2&4\\5&7\end{matrix}\right).

$$inverse(\left(\begin{matrix}2&4\\5&7\end{matrix}\right))\left(\begin{matrix}2&4\\5&7\end{matrix}\right)\left(\begin{matrix}x\\y\end{matrix}\right)=inverse(\left(\begin{matrix}2&4\\5&7\end{matrix}\right))\left(\begin{matrix}2060\\1640\end{matrix}\right)$$

Hasil kali matriks dan invers-nya adalah matriks identitas.

$$\left(\begin{matrix}1&0\\0&1\end{matrix}\right)\left(\begin{matrix}x\\y\end{matrix}\right)=inverse(\left(\begin{matrix}2&4\\5&7\end{matrix}\right))\left(\begin{matrix}2060\\1640\end{matrix}\right)$$

Kalikan matriks pada sisi kiri tanda sama dengan.

$$\left(\begin{matrix}x\\y\end{matrix}\right)=inverse(\left(\begin{matrix}2&4\\5&7\end{matrix}\right))\left(\begin{matrix}2060\\1640\end{matrix}\right)$$

Untuk matriks 2\times 2 \left(\begin{matrix}a&b\\c&d\end{matrix}\right), matriks kebalikannya adalah \left(\begin{matrix}\frac{d}{ad-bc}&\frac{-b}{ad-bc}\\\frac{-c}{ad-bc}&\frac{a}{ad-bc}\end{matrix}\right), sehingga persamaan matriks dapat ditulis ulang sebagai masalah perkalian matriks.

$$\left(\begin{matrix}x\\y\end{matrix}\right)=\left(\begin{matrix}\frac{7}{2\times 7-4\times 5}&-\frac{4}{2\times 7-4\times 5}\\-\frac{5}{2\times 7-4\times 5}&\frac{2}{2\times 7-4\times 5}\end{matrix}\right)\left(\begin{matrix}2060\\1640\end{matrix}\right)$$

Lakukan penghitungannya.

$$\left(\begin{matrix}x\\y\end{matrix}\right)=\left(\begin{matrix}-\frac{7}{6}&\frac{2}{3}\\\frac{5}{6}&-\frac{1}{3}\end{matrix}\right)\left(\begin{matrix}2060\\1640\end{matrix}\right)$$

Kalikan matriks.

$$\left(\begin{matrix}x\\y\end{matrix}\right)=\left(\begin{matrix}-\frac{7}{6}\times 2060+\frac{2}{3}\times 1640\\\frac{5}{6}\times 2060-\frac{1}{3}\times 1640\end{matrix}\right)$$

Lakukan penghitungannya.

$$\left(\begin{matrix}x\\y\end{matrix}\right)=\left(\begin{matrix}-1310\\1170\end{matrix}\right)$$

Ekstrak elemen matriks x dan y.

$$x=-1310,y=1170$$

Langkah Menggunakan Eliminasi

Agar dapat menyelesaikan dengan eliminasi, koefisien dari satu variabel harus sama dengan kedua persamaan sehingga variabel dapat disederhanakan saat satu persamaan dikurangi dengan persamaan lainnya.

$$2x+4y=2060,5x+7y=1640$$

Untuk menjadikan 2x dan 5x yang sama, kalikan semua suku pada tiap sisi dari persamaan pertama dengan 5 dan semua suku pada tiap sisi yang kedua dengan 2.

$$5\times 2x+5\times 4y=5\times 2060,2\times 5x+2\times 7y=2\times 1640$$

Sederhanakan.

$$10x+20y=10300,10x+14y=3280$$

Kurangi 10x+14y=3280 dari 10x+20y=10300 dengan mengurangi suku sejenis pada tiap sisi dari tanda sama dengan.

$$10x-10x+20y-14y=10300-3280$$

Tambahkan 10x sampai -10x. Suku 10x dan -10x saling membatalkan, meninggalkan sebuah persamaan dengan hanya satu variabel yang dapat diselesaikan.

$$20y-14y=10300-3280$$

Tambahkan 20y sampai -14y.

$$6y=10300-3280$$

Tambahkan 10300 sampai -3280.

$$6y=7020$$

Bagi kedua sisi dengan 6.

$$y=1170$$

Ganti 1170 untuk y dalam 5x+7y=1640. Karena hasil persamaan hanya berisi satu variabel, Anda dapat menyelesaikan x secara langsung.

$$5x+7\times 1170=1640$$

Kalikan 7 kali 1170.

$$5x+8190=1640$$

Kurangi 8190 dari kedua sisi persamaan.

$$5x=-6550$$

Bagi kedua sisi dengan 5.

$$x=-1310$$

Sistem kini terselesaikan.

$$x=-1310,y=1170$$