Selesaikan {l}{2m+3n=1}{15/9m-2n=1}

$$\left\{ \begin{array} { l } { 2 m + 3 n = 1 } \\ { \frac { 15 } { 9 } m - 2 n = 1 } \end{array} \right.$$

Cari nilai m, n

$$m=\frac{5}{9}\approx 0.555555556$$

$$n=-\frac{1}{27}\approx -0.037037037$$

Langkah-Langkah yang Menggunakan Substitusi

Untuk menyelesaikan sepasang persamaan dengan substitusi, terlebih dahulu selesaikan satu persamaan untuk satu variabel. Lalu ganti hasil untuk variabel tersebut di persamaan yang lain.

$$2m+3n=1,\frac{5}{3}m-2n=1$$

Pilih salah satu persamaan dan temukan nilai m dengan memisahkan m di sisi kiri tanda sama dengan.

$$2m+3n=1$$

Kurangi 3n dari kedua sisi persamaan.

$$2m=-3n+1$$

Bagi kedua sisi dengan 2.

$$m=\frac{1}{2}\left(-3n+1\right)$$

Kalikan \frac{1}{2} kali -3n+1.

$$m=-\frac{3}{2}n+\frac{1}{2}$$

Ganti \frac{-3n+1}{2} untuk m di persamaan lain, \frac{5}{3}m-2n=1.

$$\frac{5}{3}\left(-\frac{3}{2}n+\frac{1}{2}\right)-2n=1$$

Kalikan \frac{5}{3} kali \frac{-3n+1}{2}.

$$-\frac{5}{2}n+\frac{5}{6}-2n=1$$

Tambahkan -\frac{5n}{2} sampai -2n.

$$-\frac{9}{2}n+\frac{5}{6}=1$$

Kurangi \frac{5}{6} dari kedua sisi persamaan.

$$-\frac{9}{2}n=\frac{1}{6}$$

Bagi kedua sisi persamaan dengan -\frac{9}{2}, yang sama dengan mengalikan kedua sisi dengan resiprokal dari pecahan.

$$n=-\frac{1}{27}$$

Ganti -\frac{1}{27} untuk n dalam m=-\frac{3}{2}n+\frac{1}{2}. Karena hasil persamaan hanya berisi satu variabel, Anda dapat menyelesaikan m secara langsung.

$$m=-\frac{3}{2}\left(-\frac{1}{27}\right)+\frac{1}{2}$$

Kalikan -\frac{3}{2} kali -\frac{1}{27} dengan mengalikan bilangan pembilang dikalikan pembilang dan penyebut dikalikan penyebut. Lalu kurangi pecahan ke suku terkecil jika memungkinkan.

$$m=\frac{1}{18}+\frac{1}{2}$$

Tambahkan \frac{1}{2} ke \frac{1}{18} dengan mencari faktor persekutuan dan menambahkan pembilang. Lalu kurangi pecahan ke suku terkecil jika memungkinkan.

$$m=\frac{5}{9}$$

Sistem kini terselesaikan.

$$m=\frac{5}{9},n=-\frac{1}{27}$$

Langkah Menggunakan Matriks

Masukkan persamaan dalam bentuk standar lalu gunakan matriks untuk menyelesaikan sistem persamaannya.

$$2m+3n=1,\frac{5}{3}m-2n=1$$

Tulis persamaan dalam bentuk matriks.

$$\left(\begin{matrix}2&3\\\frac{5}{3}&-2\end{matrix}\right)\left(\begin{matrix}m\\n\end{matrix}\right)=\left(\begin{matrix}1\\1\end{matrix}\right)$$

Kalikan persamaan sisi kiri dengan matriks terbalik \left(\begin{matrix}2&3\\\frac{5}{3}&-2\end{matrix}\right).

$$inverse(\left(\begin{matrix}2&3\\\frac{5}{3}&-2\end{matrix}\right))\left(\begin{matrix}2&3\\\frac{5}{3}&-2\end{matrix}\right)\left(\begin{matrix}m\\n\end{matrix}\right)=inverse(\left(\begin{matrix}2&3\\\frac{5}{3}&-2\end{matrix}\right))\left(\begin{matrix}1\\1\end{matrix}\right)$$

Hasil kali matriks dan invers-nya adalah matriks identitas.

$$\left(\begin{matrix}1&0\\0&1\end{matrix}\right)\left(\begin{matrix}m\\n\end{matrix}\right)=inverse(\left(\begin{matrix}2&3\\\frac{5}{3}&-2\end{matrix}\right))\left(\begin{matrix}1\\1\end{matrix}\right)$$

Kalikan matriks pada sisi kiri tanda sama dengan.

$$\left(\begin{matrix}m\\n\end{matrix}\right)=inverse(\left(\begin{matrix}2&3\\\frac{5}{3}&-2\end{matrix}\right))\left(\begin{matrix}1\\1\end{matrix}\right)$$

Untuk matriks 2\times 2 \left(\begin{matrix}a&b\\c&d\end{matrix}\right), matriks kebalikannya adalah \left(\begin{matrix}\frac{d}{ad-bc}&\frac{-b}{ad-bc}\\\frac{-c}{ad-bc}&\frac{a}{ad-bc}\end{matrix}\right), sehingga persamaan matriks dapat ditulis ulang sebagai masalah perkalian matriks.

$$\left(\begin{matrix}m\\n\end{matrix}\right)=\left(\begin{matrix}-\frac{2}{2\left(-2\right)-3\times \frac{5}{3}}&-\frac{3}{2\left(-2\right)-3\times \frac{5}{3}}\\-\frac{\frac{5}{3}}{2\left(-2\right)-3\times \frac{5}{3}}&\frac{2}{2\left(-2\right)-3\times \frac{5}{3}}\end{matrix}\right)\left(\begin{matrix}1\\1\end{matrix}\right)$$

Lakukan penghitungannya.

$$\left(\begin{matrix}m\\n\end{matrix}\right)=\left(\begin{matrix}\frac{2}{9}&\frac{1}{3}\\\frac{5}{27}&-\frac{2}{9}\end{matrix}\right)\left(\begin{matrix}1\\1\end{matrix}\right)$$

Kalikan matriks.

$$\left(\begin{matrix}m\\n\end{matrix}\right)=\left(\begin{matrix}\frac{2}{9}+\frac{1}{3}\\\frac{5}{27}-\frac{2}{9}\end{matrix}\right)$$

Lakukan penghitungannya.

$$\left(\begin{matrix}m\\n\end{matrix}\right)=\left(\begin{matrix}\frac{5}{9}\\-\frac{1}{27}\end{matrix}\right)$$

Ekstrak elemen matriks m dan n.

$$m=\frac{5}{9},n=-\frac{1}{27}$$

Langkah Menggunakan Eliminasi

Agar dapat menyelesaikan dengan eliminasi, koefisien dari satu variabel harus sama dengan kedua persamaan sehingga variabel dapat disederhanakan saat satu persamaan dikurangi dengan persamaan lainnya.

$$2m+3n=1,\frac{5}{3}m-2n=1$$

Untuk menjadikan 2m dan \frac{5m}{3} yang sama, kalikan semua suku pada tiap sisi dari persamaan pertama dengan \frac{5}{3} dan semua suku pada tiap sisi yang kedua dengan 2.

$$\frac{5}{3}\times 2m+\frac{5}{3}\times 3n=\frac{5}{3},2\times \frac{5}{3}m+2\left(-2\right)n=2$$

Sederhanakan.

$$\frac{10}{3}m+5n=\frac{5}{3},\frac{10}{3}m-4n=2$$

Kurangi \frac{10}{3}m-4n=2 dari \frac{10}{3}m+5n=\frac{5}{3} dengan mengurangi suku sejenis pada tiap sisi dari tanda sama dengan.

$$\frac{10}{3}m-\frac{10}{3}m+5n+4n=\frac{5}{3}-2$$

Tambahkan \frac{10m}{3} sampai -\frac{10m}{3}. Suku \frac{10m}{3} dan -\frac{10m}{3} saling membatalkan, meninggalkan sebuah persamaan dengan hanya satu variabel yang dapat diselesaikan.

$$5n+4n=\frac{5}{3}-2$$

Tambahkan 5n sampai 4n.

$$9n=\frac{5}{3}-2$$

Tambahkan \frac{5}{3} sampai -2.

$$9n=-\frac{1}{3}$$

Bagi kedua sisi dengan 9.

$$n=-\frac{1}{27}$$

Ganti -\frac{1}{27} untuk n dalam \frac{5}{3}m-2n=1. Karena hasil persamaan hanya berisi satu variabel, Anda dapat menyelesaikan m secara langsung.

$$\frac{5}{3}m-2\left(-\frac{1}{27}\right)=1$$

Kalikan -2 kali -\frac{1}{27}.

$$\frac{5}{3}m+\frac{2}{27}=1$$

Kurangi \frac{2}{27} dari kedua sisi persamaan.

$$\frac{5}{3}m=\frac{25}{27}$$

Bagi kedua sisi persamaan dengan \frac{5}{3}, yang sama dengan mengalikan kedua sisi dengan resiprokal dari pecahan.

$$m=\frac{5}{9}$$

Sistem kini terselesaikan.

$$m=\frac{5}{9},n=-\frac{1}{27}$$